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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.
En désignant donc par
les vitesses de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum mv^{2}&=\mathrm {const} -\sideset {}{_{1}}\sum \cdot \sum m\left[\left(\Delta {\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]\\\\&+2\sum \int m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297022211b164ea6baebe5cc89f5f48368641dda)
La quantité renfermée sous le signe
étant nécessairement positive, on voit que la force vive du système diminue par l’action mutuelle des corps, toutes les fois que, durant le mouvement, quelques-unes des variations
sont finies. L’équation précédente offre de plus un moyen fort simple d’avoir cette diminution.
À chaque variation brusque du mouvement du système, on peut concevoir la vitesse de
décomposée en deux autres, l’une
qui subsiste dans l’instant suivant, l’autre
détruite par l’action des autres corps ; or la vitesse de
étant
avant cette décomposition, et se changeant, après, dans
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\left(dx+\Delta dx\right)^{2}+\left(dy+\Delta dy\right)^{2}+\left(dz+\Delta dz\right)^{2}}}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af84cc53980901a540164e0e49622782a7661e57)
il est facile de voir que l’on a
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}=\left(\Delta {\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2d19566c36f10495a01d675c2eae28d1f94197)
l’équation précédente peut donc être mise sous cette forme :
![{\displaystyle \sum mv^{2}=\mathrm {const} -\sideset {}{_{1}}\sum \cdot \sum m\mathrm {V} ^{2}+2\sum \int m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8e26a03608faeb1d2e84600ec7cf46a0a4c9f6)
20. Si dans l’équation (P) du n° 18 on suppose
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\delta x'&=\delta x+\delta x'_{1},&\qquad \delta y'&=\delta y+\delta y'_{1},&\qquad \delta z'&=\delta z+\delta z'_{1},\\\delta x''&=\delta x+\delta x''_{1},&\delta y'&=\delta y+\delta y''_{1},&\delta z''&=\delta z+\delta z''_{1},\\\cdots &\cdots \cdots \cdots ,&\cdots &\cdots \cdots \cdots ,&\cdots &\cdots \cdots \cdots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1630f875dfb9bddf48d8232a87af2498815790a)
en substituant ces variations dans les expressions des variations ![{\displaystyle \delta f,\delta f',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bd8799aa3f3d9bd66e3043dd98303195aa1fb6)
des distances mutuelles des corps du système, dont on a donné