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MÉCANIQUE CÉLESTE.
les valeurs dans le n° 15, on voit que les variations
disparaissent de ces expressions. Si le système est libre, c’est-à-dire, si aucune de ses parties n’a de liaison avec les corps étrangers, les conditions relatives à la liaison mutuelle des corps ne dépendant que de leurs distances mutuelles, les variations
seront indépendantes de ces conditions : d’où il suit qu’en substituant, au lieu de
leurs valeurs précédentes dans l’équation (P), on doit égaler séparément à zéro les coefficients des variations
ce qui donne les trois équations
![{\displaystyle 0=\sum m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\mathrm {P} \right),\quad 0=\sum m\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-\mathrm {Q} \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f212a5613dc194ab5fda3e551a3b31766b274b79)
![{\displaystyle 0=\sum m\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-\mathrm {R} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75f32e619a35d015bdf05f7501ffc8914d18bd4)
Supposons que
soient les trois coordonnées du centre de gravité du système ; on aura, par le no 15,
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\sum mx}{\sum m}},\qquad \mathrm {Y} ={\frac {\sum my}{\sum m}},\qquad \mathrm {Z} ={\frac {\sum mz}{\sum m}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee5941332817c6d19d3158cbd1c9e051720b0c1)
partant
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}-{\frac {\sum m\mathrm {P} }{\sum m}},\quad 0={\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}-{\frac {\sum m\mathrm {Q} }{\sum m}},\quad 0={\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}-{\frac {\sum m\mathrm {R} }{\sum m}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993d9ffe73859df0a25341c5f6b7a3dec088f26c)
le centre de gravité du système se meut donc comme si, tous les corps
étant réunis à ce centre, on lui appliquait toutes les forces qui sollicitent le système.
Si le système n’est soumis qu’à l’action mutuelle des corps qui le composent et à leurs attractions réciproques, on aura
![{\displaystyle 0=\sum m\mathrm {P} ,\qquad 0=\sum m\mathrm {Q} ,\qquad 0=\sum m\mathrm {R} \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30169546d77867ee8b8cdc833912a9d5e6a3acc0)
car, en exprimant par
l’action réciproque de
et de
quelle que soit sa nature, et désignant par
la distance mutuelle de ces deux corps, on aura, en vertu de cette action seule,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}m\ \mathrm {P} \ &={\frac {p\left(x-x'\right)}{f}},&\qquad m\ \mathrm {Q} \ &={\frac {p\left(y-y'\right)}{f}},&\qquad m\ \mathrm {R} \ &={\frac {p\left(z-z'\right)}{f}},\\\\m'\mathrm {P} '&={\frac {p\left(x'-x\right)}{f}},&m'\mathrm {Q} '&={\frac {p\left(y'-y\right)}{f}},&m'\mathrm {R} '&={\frac {p\left(z'-z\right)}{f}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ed62882dd6eeb8b218f25798467369bbe7a7c8)