tions, on applique aux caractéristiques
et
les exposants des puissances de
et de
et que l’on change les différences négatives en intégrales.
Les deux équations précédentes on(encore lieu, en supposant que, dans les différences
et
et
au lieu de varier de l’unité, varient d’une quantité quelconque
on doit seulement observer que, dans la différence
variera de
et
variera de
or, si l’on suppose
infiniment petit, les différences
et
se changeront : la première dans
et la seconde dans
De plus, si l’on fait
et
infiniment grands et que l’on suppose
et
on aura
![{\displaystyle \left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{i}=\left(1+dx{\frac {\partial y_{x,x_{1}}}{\partial x}}\right)^{\frac {\alpha }{dx}}=e^{\alpha {\frac {\partial y_{x,x_{1}}}{\partial x}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566c9e1a7bfb1861dfa23888e8d650e27893ba8f)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; on aura pareillement
![{\displaystyle \left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)^{i_{1}}=e^{\alpha _{1}{\frac {\partial y_{x,x_{1}}}{\partial x_{1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e01b836489f279a3bf4f0a6886eb7d10263bcd0)
partant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{n}y_{x,x_{1}}=&\left(e^{\alpha {\frac {\partial y_{x,x_{1}}}{\partial x}}+\alpha _{1}{\frac {\partial y_{x,x_{1}}}{\partial x_{1}}}}-1\right)^{n},\\\sideset {}{^{n}}\sum y_{x,x_{1}}=&{\frac {1}{\left(e^{\alpha {\frac {\partial y_{x,x_{1}}}{\partial x}}+\alpha _{1}{\frac {\partial y_{x,x_{1}}}{\partial x_{1}}}}-1\right)^{n}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6042ff94294f7354923983662e2b15d4d493b3)
variant de
et
variant de
dans les deux premiers membres de ces équations.
Si, au lieu de supposer
infiniment petit, on le suppose fini et
infiniment petit et égal à
si l’on suppose, de plus,
infiniment petit et égal à
on aura
![{\displaystyle \left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{i}=\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{dx}=1+dx\log \left(1+\Delta y_{x,x_{1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff50bf66aef47d64bbb37d156e9cc206fcfd888d)
On aura pareillement
![{\displaystyle \left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)^{i}=1+dx_{1}\log \left(1+\Delta y_{x,x_{1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce4cebf86bf27b963116ce83304686f27dc7f6f)