ce qui donne
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{u_{1}}}-1\right)^{n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t_{1}}}-1\right)-1\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733e03f256364e04de8f5e8fbdbfceb38562cc53)
partant, si l’on désigne par la caractéristique 
la différence finie de 
prise en ne faisant varier que 
et par la caractéristique 
cette différence prise en ne faisant varier que 
on aura, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,
![{\displaystyle \Delta ^{n}y_{x,x_{1}}=\left[\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)\left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)-1\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f63400f81dcc2cfa31059a9be28789ddd1c676)
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique aux caractéristiques 
et les exposants des puissances de 
et de 
En changeant 
en 
on s’assurera facilement, par un raisonnement analogue à celui de l’article X, que l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle \sideset {}{^{n}}\sum y_{x,x_{1}}={\frac {1}{\left[\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)\left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)-1\right]^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68085fabe8eaa42e8aa389134eead4cc84ae889)
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on change les différences négatives en intégrales.
Il est clair que 
est la fonction génératrice de la différence finie ième de 
lorsque 
varie de 
et que 
varie de 
or on a
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{t^{i}t_{1}^{i_{1}}}}-1\right)^{n}=\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{i_{1}}-1\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259d1a623053e1caf2ca3aeda9462979293d2f39)
donc, si l’on désigne par la caractéristique 
les différences finies, et par la caractéristique 
les intégrales finies, lorsque varie de 
et que varie de 
on aura, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{^{n}}\Delta y_{x,x_{1}}=&\left[\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{i}\left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)^{i_{1}}-1\right]^{n},\\\sideset {^{1}}{^{n}}\sum y_{x,x_{1}}=&{\frac {1}{\left[\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{i}\left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)^{i_{1}}-1\right]^{n}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e9925d755c2b9b68f15c6fccd64dbcff09aa40)
pourvu que, dans le développement des seconds membres de ces équa-
