de
et des
Si l’on nomme
le rayon vecteur de la Terre, on aura, par la théorie des forces centrales,
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{\mathrm {R} ^{3}}}\qquad 0={\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{\mathrm {R} ^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a5c023f7f2be9fa6a6c652a948b97add2b9b3e)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{r^{3}}}=&x'\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right),\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{r^{3}}}=&y'\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a37b5f5a7167e2f4d30cec8085534146069480)
Si l’on désigne ensuite par
la longitude de la Terre vue du Soleil, on aura
![{\displaystyle x'=\mathrm {R} \cos \mathrm {A} ,\qquad y'=\mathrm {R} \sin \mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938e106de89509090c58467e968a8fd1dada17a1)
Cela posé, on multipliera l’équation (1) par
et l’un en retranchera l’équation (2) multipliée par
et, comme on a
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{r^{3}}}\right)\sin \mathrm {A} -\left({\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{r^{3}}}\right)\cos \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7d551816a6bdf76b2643b2bc0345eb21a5e5e0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)\left(x'\sin \mathrm {A} -y'\cos \mathrm {A} \right)\\&=\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)\left(\mathrm {R\cos A\sin A-R\sin A\cos A} \right)=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26792a724c943787508d3e60c50bcdb1c070d491)
on aura l’équation suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )-2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\\&-2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )-\rho {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\sin \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\\&-\rho \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )+2\rho {\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )\\&-\rho {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )-\rho \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\\&+{\frac {\rho \cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )}{r^{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dbc3ffd90b06a5e844eca8881c42151de38a59)
Si l’on multiplie cette équation par
et que l’on en retranche l’é-