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quation (3), multipliée par $\cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha ),$ on aura

${\begin{aligned}0=&-2{\frac {d\rho }{dt}}\left[{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {d\theta }{dt}}\sin(\mathrm {A} -\alpha )\right]\\&-\rho \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\sin &(\mathrm {A} -\alpha )-2{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\sin ^{2}\theta \cos(A-\alpha )\\&+{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )\\&+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\end{aligned}}\right\}\,;\\\end{aligned}}$

donc, si l’on fait ${\frac {d\rho }{dt}}=u\rho ,$ on aura

$u=-{\frac {1}{2}}{\frac {\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\\-2{\frac {d\alpha }{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}\sin ^{2}\theta \cos(A-\alpha )+{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\sin(\mathrm {A} -\alpha )\end{aligned}}\right\}}{{\cfrac {d\alpha }{dt}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+{\cfrac {d\theta }{dt}}\sin(\mathrm {A} -\alpha )}}$

expression dans laquelle on peut observer que le numérateur est égal au produit de la différence du dénominateur par $-{\frac {1}{2t}},\ \mathrm {A}$ étant regardé comme constant.

Si l’on multiplie maintenant l’équation (1) par $\sin \alpha$ et que l’on en retranche l’équation (2) multipliée par $\cos \alpha \,;$ si l’on observe d’ailleurs que

$\left({\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{r^{3}}}\right)\sin \alpha -\left({\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{r^{3}}}\right)\cos \alpha$

$=\mathrm {R} \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)\left(\sin \alpha \cos \mathrm {A} -\cos \alpha \sin \mathrm {A} \right).$

on aura

$-2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta +\rho \left(2{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta -{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\cos \theta \right)$

$=\mathrm {R} \sin(\mathrm {A} -\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right).$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de ${\frac {d\rho }{dt}},$ sa valeur $u\rho ,$ et, au lieu de $u,$ l’expression que nous venons d’en trouver ; si l’on fait de