dans le problème des cordes vibrantes, l’équation différentielle est du second ordre, ou qu’il n’y ait point de saut entre deux rayons osculateurs consécutifs, si l’équation est du troisième ordre, etc. » ce qui est conforme à ce que M. le marquis de Condorcet a trouvé, par une autre méthode, dans les Mémoires de l’Académie pour l’année 1771, pages 70 et 71. Mais il est essentiel d’observer que, si l’intégrale renferme les différences des fonctions arbitraires, on doit considérer les différences les plus élevées comme les véritables fonctions arbitraires de l’intégrale, et n’appliquer la règle précédente qu’à ces différences. Cette manière d’éclairer les points délicats de la théorie des différences infiniment petites par celle des différences finies est, si je ne me trompe, la plus propre à remplir cet objet, et il me semble que, d’après la théorie que j’expose, il ne doit rester aucun doute sur l’usage des fonctions discontinues dans le Calcul intégral aux différences partielles. Enfin, je termine ce Mémoire par la considération des équations linéaires aux différences partielles, en partie finies et en partie infiniment petites, et par quelques théorèmes sur la réduction en séries des fonctions à deux variables. Toutes ces recherches n’étant que le développement d’une considération fort simple sur la nature des fonctions génératrices, j’ose me flatter que l’analyse dont j’ai fait usage pourra mériter, par sa généralité, l’attention des Géomètres.
Soit une fonction quelconque de si l’on forme la suite infinie
et que l’on nomme la somme de cette suite, ou, ce qui revient au même, la fonction dont le développement forme cette suite, cette fonction sera ce que je nomme fonction génératrice de la variable
Une fonction génératrice d’une variable quelconque est donc généralement une fonction de qui, développée suivant les puissances de a cette variable pour coefficient de et, réciproque-
