et, généralement, la fonction génératrice de 
sera
partant la fonction génératrice de 
sera
On peut généraliser encore les théorèmes précédents, en supposant que 
représente une fonction quelconque linéaire de 
que 
représente une nouvelle fonction dans laquelle entre de la même manière que 
dans 
que 
représente une fonction de semblable à celle de en 
et ainsi de suite ; car, 
étant la fonction génératrice de si l’on nomme 
celle de 
seront les fonctions génératrices de 
En multipliant donc la fonction par les puissances successives de 
on aura les fonctions génératrices des produits de par les puissances correspondantes de 
n’étant point une quantité, mais une caractéristique ; et cela sera encore vrai en supposant ces puissances fractionnaires et même incommensurables.
étant une fonction quelconque de 
si l’on développe 
suivant les puissances de et que l’on désigne par 
un terme quelconque de ce développement, le coefficient de 
dans 
sera 
on aura donc le coefficient de dans 
ou, ce qui revient au même, on aura 
1o en substituant, dans 
au lieu de 
2o en développant ce que devient alors 
suivant les puissances de et en ajoutant à 
dans chaque terme, l’exposant de la puissance de c’est à-dire en écrivant au lieu de 
au lieu de 
au lieu de 
et ainsi de suite.
Si, au lieu de développer suivant les puissances de on le développe suivant les puissances de 
et que l’on désigne par
