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correspondante de la fonction $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i},$ dans laquelle on suppose $i$ négatif, en changeant $i$ en $-i$ dans $\Delta ^{i}y_{x}$ et en supposant que les différences négatives représentent des intégrales ; mais, si l’on a égard aux constantes arbitraires, il faut, en passant des puissances positives aux puissances négatives de ${\frac {1}{t}}-1,$ augmenter $u$ d’un nombre de termes ${\frac {\mathrm {A} }{t}}+{\frac {\mathrm {B} }{t^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} }{t^{3}}}+\ldots$ égal à l’exposant de la puissance négative de ${\frac {1}{t}}-1.$ On voit par là comment les fonctions génératrices se forment de la loi des variables correspondantes, et réciproquement, de quelle manière ces variables se déduisent de leurs fonctions génératrices. Appliquons maintenant ces résultats à la théorie des suites.

III.

De l’interpolation des suites à une seule variable, et de l’intégration
des équations différentielles linéaires.

Toute la théorie de l’interpolation des suites consiste à déterminer, quel que soit $i,$ la valeur de $y_{+i}$ en fonction de $y_{x}$ et des termes qui précèdent ou qui suivent $y_{x}.$ Pour cela, on doit observer que $y_{+i}$ est égal au coefficient de $t^{x+i}$ dans le développement de $u,$ et, par conséquent, égal au coefficient de $t^{x}$ dans le développement de ${\frac {u}{t^{i}}}\,;$ or on a

${\frac {u}{t^{i}}}=u(1+{\frac {1}{t}}-1)^{i}$

$=u\left[1+i\left({\frac {1}{t}}-1\right)+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{3}+\ldots \right].$

De plus, le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de $u$ est $y_{x}\,;$ ce coefficient dans le développement de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)$ est $\Delta y_{x}\,;$ dans le développement de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2},$ il est égal à $\Delta ^{2}y_{x},$ et ainsi de suite ; on aura donc, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,

$y_{x+i}=y_{x}+i\Delta y_{x}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}y_{x}+\ldots .$