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$\mathrm {S}$ étant une fonction de $s\,;\ \mathrm {A,B,C}$ étant des fonctions rationnelles et entières de la même variable, et la caractéristique $\Delta$ étant celle des différences finies, en sorte que $\Delta y_{s}=y_{s+1}-y_{s}.$ Soit

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&a+a^{(1)}s+a^{(2)}s^{2}+a^{(3)}s^{3}+\ldots ,\\\mathrm {B} =&b+b^{(1)}\,s+b^{(2)}\,s^{2}+b^{(3)}\,s^{3}+\ldots ,\\\mathrm {C} =&c+c^{(1)}\,s+c^{(2)}\,s^{2}+c^{(3)}\,s^{3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et représentons la valeur de $y_{s}$ par l’intégrale $\int e^{-sx}\varphi dx,\ \varphi$ étant une fonction de $x,$ indépendante de $s,$ et l’intégrale étant prise entre des limites indépendantes de cette variable ; on aura

${\begin{aligned}\Delta \ \ y_{s}=&\int e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)\varphi dx,\\\Delta ^{2}y_{s}=&\int e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{2}\varphi dx,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

De plus, si l’on désigne $e^{-sx}$ par $\delta y,$ on aura

$se^{-sx}=-{\frac {d\delta y}{dx}},\quad s^{2}e^{-sx}={\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\quad s^{3}e^{-sx}=-{\frac {d^{3}\delta y}{dx^{3}}},\quad \ldots \,;$

l’équation (1) deviendra ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {S} =\int \varphi dx&\left\{\ \quad \delta y\ \left[a\,\quad +b\quad \left(e^{-x}-1\right)+c\quad \left(e^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\right.\\&-{\frac {d\delta y}{dx}}\ \left[a^{(1)}+b^{(1)}\left(e^{-x}-1\right)+c^{(1)}\left(e^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}\left[a^{(2)}+b^{(2)}\left(e^{-x}-1\right)+c^{(2)}\left(e^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\\&\left.+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

Si l’on représentait $y_{s}$ par l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx,$ on aurait, en désignant $x^{s}$ par $\delta y,$

$sx^{s}=x{\frac {d\delta y}{dx}},\qquad s(s-1)x^{s}=x^{2}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\qquad \ldots \,;$

on aurait ensuite

$\Delta y_{s}=\int \delta y(x-1)\varphi dx,\qquad \Delta ^{2}y_{s}=\int \delta y(x-1)^{2}\varphi dx,\qquad \ldots .$