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en comparant cette valeur de $\mathrm {S}$ à la précédente, on aura

${\begin{aligned}l\quad =&\mathrm {N} \varphi -{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+\ldots ,\\l^{(1)}=&\mathrm {P} \varphi -\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$x$ devant être changé en $p$ dans les seconds membres de ces équations dont le nombre est égal au degré de l’équation différentielle (2) : on pourra donc, à leur moyen, déterminer toutes les constantes arbitraires de la valeur de $\varphi \,;$ et, si l’on désigne par $\psi$ ce que devient $\varphi$ lorsqu’on a ainsi déterminé ses constantes arbitraires, on aura

$y_{s}=\int x^{s}\psi dx.$

De là, et de ce que l’équation (1) est linéaire, il est facile de conclure que, si $\mathrm {S}$ est égal à

${\begin{aligned}&p^{s}\left[l\ \,+l^{(1)}s+l^{(2)}s(s-1)+l^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots \right]\\+&p_{1}^{s}\left[l_{1}+l_{1}^{(1)}s+l_{1}^{(2)}s(s-1)+l_{1}^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots \right]\\+&p_{2}^{s}\left[l_{2}+l_{1}^{(1)}s+l_{2}^{(2)}s(s-1)+l_{2}^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en nommant $\psi _{1},\psi _{2},\ldots$ ce que devient $\psi$ lorsqu’on y change successivement $p,l,l^{(1)},\ldots$ dans $p_{1},l_{1},l_{1}^{(1)},\ldots ,p_{2},l_{2},l_{2}^{(1)},\ldots ,$ on aura

$y_{s}=\int x^{s}\psi dx+\int x^{s}\psi _{1}dx+\int x^{s}\psi _{2}dx+\ldots ,$

la première intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p,$ la seconde intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p_{1},$ etc. Cette valeur de $y_{s}$ ne renferme aucune constante arbitraire ; mais, en la joignant à celle que nous avons trouvée dans le numéro précédent, pour le cas de $\mathrm {S} =0,$ on aura pour l’expression complète de $y_{s}$

(4)

$\left\{{\begin{aligned}y_{s}=\mathrm {B} \int x^{s}\lambda dx&+\mathrm {B} ^{(1)}\int x^{s}\lambda ^{(1)}dx+\mathrm {B} ^{(2)}\int x^{s}\lambda ^{(2)}dx+\ldots \\&+\int x^{s}\psi dx+\int x^{s}\psi _{1}dx+\int x^{s}\psi _{2}dx+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Il sera facile, par les méthodes du n^o VI, d’avoir en séries conver-