Il sera facile d’avoir en séries convergentes, et l’on n’aura besoin pour cela que d’intégrer des équations linéaires aux différences infiniment petites du premier ordre. Toutes les fois que l’on pourra décomposer ainsi une équation proposée en d’autres équations linéaires, dans lesquelles la variable ne passera pas le premier degré, on aura toujours en séries convergentes la valeur de son intégrale, si est un grand nombre.
Dans plusieurs cas où l’on est conduit à une équation différentielle en d’un ordre supérieur au premier, on pourra faire usage des intégrales multiples en représentant par la double intégrale dans laquelle est une fonction de et de ou par la triple intégrale étant fonction de et ainsi de suite. On parviendra souvent à déterminer directement ou par une équation du premier ordre ; nous en verrons des exemples dans l’article suivant.
Le cas dans lequel l’équation qui détermine la valeur de \varphi est différentielle du premier ordre étant le seul qui soit généralement résoluble, nous allons le développer ici en y appliquant directement la méthode d’approximation de l’article I.
Supposons que l’on ait une équation linéaire d’un ordre quelconque aux différences finies ou infiniment petites, ou en partie finies et en partie infiniment petites, dans les coefficients de laquelle la variable ne passe pas le premier degré ; cette équation aura la forme suivante
et étant des fonctions linéaires de la variable principale et de ses différences. Si l’on y fait étant égal à ou à elle deviendra
et étant des fonctions de on aura donc, par la méthode du
