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n^o VIII, les deux équations

${\begin{aligned}0=&\mathrm {M} \varphi -{\frac {d(\mathrm {N} \varphi )}{dx}},\\0=&\mathrm {C} +\delta y\mathrm {N} \varphi .\end{aligned}}$

La première donne, en l’intégrant,

$\varphi =\mathrm {\frac {H}{N}} e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dx},$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire. Supposons, dans la seconde équation, $\mathrm {C} =0\,;$ si l’on désigne par $a$ la valeur de $x$ donnée par l’équation

$0=d(\mathrm {N} \varphi \delta y),$

et par $\mathrm {Q}$ ce que devient la fonction $\mathrm {N} \varphi \delta y$ lorsqu’on y change $x$ en $a,$ on fera

$\mathrm {N} \varphi \delta y=\mathrm {Q} e^{-t^{2}}\,;$

on aura ainsi

$t={\sqrt {\log \mathrm {Q} -\log(\mathrm {N} \varphi )-\log \delta y}}.$

$\log \delta y$ étant de l’ordre $s,$ si l’on fait ${\frac {1}{s}}=\alpha ,\ \alpha$ étant un très petit coefficient, la quantité sous le radical prendra cette forme ${\frac {(x-a)^{2}}{\alpha }}\mathrm {X} ,\ \mathrm {X}$ étant fonction de $x-a\,;$ on aura donc, par le retour des suites, la valeur de $x$ en $t$ par une série de cette forme

$x=a+\alpha ^{\frac {1}{2}}ht+\alpha h^{(1)}t^{2}+\alpha ^{\frac {3}{2}}h^{(2)}t^{3}+\ldots .$

Maintenant, $y_{s}$ étant égal à $\int \delta y\varphi dx,$ si l’on substitue dans cette intégrale au lieu de $\delta y\varphi$ sa valeur ${\frac {\mathrm {Q} e^{-t^{2}}}{\mathrm {N} }},$ elle deviendra $\mathrm {Q} \int {\frac {dx}{\mathrm {N} }}e^{-t^{2}},$ et si dans ${\frac {dx}{\mathrm {N} }}$ on met au lieu de $x$ sa valeur précédente en $t,$ on aura $y_{s}$ par une suite de cette forme

$y_{s}=\alpha ^{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} \int dte^{-t^{2}}\left(l+\alpha ^{\frac {1}{2}}l^{(1)}t+\alpha l^{(2)}t^{2}+\alpha ^{\frac {3}{2}}l^{(3)}t^{3}+\ldots \right).$

Les limites de l’intégrale relative à $t$ doivent se déterminer par cette