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On pourra toujours obtenir, par la méthode précédente, l’intégrale de ces équations en intégrales’définies, et sa valeur approchée par des séries qui seront très convergentes lorsque $s$ sera un grand nombre.

XVII.

La même méthode peut être encore étendue aux équations linéaires aux différentielles partielles, soit finies, soit infiniment petites. Pour cela, considérons d’abord l’équation linéaire aux différences partielles dont les coefficients sont constants ; en désignant par $y_{s,s'}$ la variable principale, $s,s'$ étant les deux variables dont elle est fonction, on pourra représenter cette équation par celle-ci $0=\mathrm {V} ,\ V$ étant une fonction linéaire de $y_{s,s'}$ et de ses différences partielles, soit finies, soit infiniment petites. Supposons maintenant

$y_{s,s'}=\int x^{s}u^{s'}\varphi dx\,;$

on substituant cette valeur dans l’équation précédente, elle deviendra

$0=\int \mathrm {M} x^{s}u^{s'}\varphi dx,$

$\mathrm {M}$ étant une fonction de $x$ et de $u,$ sans $s$ ni $s'\,;$ en l’égalant donc à zéro, on aura la valeur de $u$ en $x,$ et cette valeur, substituée dans l’intégrale $\int x^{s}u^{s'}\varphi dx,$ donnera l’expression générale de $y_{s,s'},\ \varphi$ étant une fonction arbitraire de $x,$ et les limites de l’intégrale étant indéterminées. Si l’équation proposée $0=\mathrm {V}$ est de l’ordre $n,$ il faudra, au moyen de l’équation $\mathrm {M} =0,$ déterminer $n$ valeurs de $u$ en $x,$ et la somme des $n$ intégrales $\int x^{s}u^{s'}\varphi dx,$ qui en résulteront sera l’expression complète de $y_{s,s'}.$

Considérons présentement l’équation aux différences partielles

$0=\mathrm {V} +s\mathrm {T} +s'\mathrm {R} ,$

dans laquelle $\mathrm {V,T,R}$ sont des fonctions quelconques linéaires de $y_{s,s'},$ et de ses différences partielles finies et infiniment petites. Si l’on y suppose

$y_{s,s'}=\int x^{s}u^{s'}\varphi dx,$