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$x'$ étant une fonction de $x$ qu’il s’agit de déterminer, on aura une équation de cette forme

$0=\int x^{s}x'^{s'}\varphi dx(\mathrm {M} +\mathrm {N} s+\mathrm {P} s'),$

$\mathrm {M,N,P}$ étant des fonctions de $x$ et $x',$ sans $s$ ni $s'$ or on a

${\frac {dx^{s}x'^{s'}}{dx}}=x^{s}x'^{s'}\left({\frac {s}{x}}+{\frac {s'dx'}{x'dx}}\right).$

Donc, si l’on détermine $x'$ par cette équation

${\frac {dx'}{x'}}={\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {N} x}},$

on aura

$x^{s}x'^{s'}(\mathrm {N} s+\mathrm {P} s')=\mathrm {N} x{\frac {d(x^{s}x'^{s'})}{dx}}\,;$

par conséquent, si l’on désigne $x^{s}x'^{s'}$ par $\delta y,$ on aura

$0=\int \varphi dx\left(\mathrm {M} \delta y+\mathrm {N} x{\frac {d\delta y}{dx}}\right).$

Cette équation donne les deux suivantes

${\begin{aligned}0=&\mathrm {M} \varphi -{\frac {d(\mathrm {N} x\varphi )}{dx}},\\0=&\mathrm {N} x\varphi \delta y\,;\end{aligned}}$

la première détermine la fonction $\varphi$ en $x,$ et la seconde détermine les limites de l’intégrale $\int \delta y\varphi dx.$ Cette valeur de $y_{s,s'},$ ne renfermant point de fonction arbitraire, n’est qu’une intégrale particulière de l’équation proposée aux différences partielles ; pour la rendre complète, on observera que l’intégrale de l’équation ${\frac {dx'}{x'}}={\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {N} x}},$ qui détermine $x'$ en $x,$ est

$x'=u\mathrm {Q} ,$

$\mathrm {Q}$ étant une fonction de $x$ et $u$ étant une constante arbitraire. En désignant donc par $\psi$ une fonction arbitraire de $u,$ on aura

$y_{s,s'}=\iint u^{s'}Q^{s'}x^{s}\varphi \psi dxdu,$