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ce qui donne

$(s+n)^{is+in+r}=s^{is+in+r}e^{in+{\frac {in^{2}+2rn}{2s}}+\ldots }.$

On peut mettre le second membre de cette équation sous cette forme

$s^{is+in+r}e^{in}\left(1+{\frac {a_{n}}{s}}+{\frac {b_{n}}{s^{2}}}+\ldots \right),$

$a_{n},b_{n},\ldots$ étant des fonctions de $n\,;$ on aura donc

$y_{s+n}=\mathrm {H} p^{s+n}s^{is+in+r}e^{in}\left(1+{\frac {a_{n}}{s}}+{\frac {b_{n}}{s^{2}}}+\ldots \right)$

$\times \left[1+{\frac {q}{s^{r'}}}\left(1-{\frac {s}{r'n}}+\ldots \right)+{\frac {q'}{s^{r''}}}\left(1-{\frac {s}{r''n}}+\ldots \right)+\ldots \right],$

d’où il est facile de conclure les valeurs de $y_{s+1},y_{s+2},y_{s+3},\ldots ,$ en faisant successivement dans cette expression $n=1,\ n=2,\ n=3,\ \ldots .$ Maintenant, si l’on substitue ces valeurs dans l’équation proposée aux différences finies, on déterminera facilement par les méthodes connues les exposants $i,r,r',\ldots$ et les constantes $p,q,q',\ldots .$

Cette nouvelle méthode a l’avantage d’être indépendante de toute intégration et de s’étendre au cas où les coefficients de l’équation proposée en $y_{s}$ seraient irrationnels ; mais les constantes arbitraires $\mathrm {H,H'} ,\ldots$ qu’elle introduit ne peuvent alors être déterminées qu’au moyen de valeurs données de $y_{s},$ lorsque $s$ est déjà un grand nombre, au lieu que, suivant la méthode exposée dans les numéros précédents, ces constantes peuvent être déterminées au moyen des premières valeurs de $y_{s},$ ce qui donne les moyens de connaître ce que devient cette fonction lorsque $s$ est très grand ou même infini, en supposant qu’elle ait commencé d’une manière déterminée ; c’est en cela que consiste le principal avantage de cette méthode.