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et, par conséquent,

$(q)\qquad \qquad y_{s}=\mathrm {Y} {\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right)}{\int x^{\mu }dxe^{-x}}}\,;$

si $\mu$ est un nombre considérable, on aura

$\int x^{\mu }dxe^{-x}=\mu ^{\mu +{\frac {1}{2}}}e^{-\mu }{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12\mu }}+\ldots \right),$

ce qui donne

$(q')\qquad \qquad y_{s}=\mathrm {Y} {\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}}{\mu ^{\mu +{\frac {1}{2}}}}}e^{\mu -s}\left(1+{\frac {\mu -s}{12\mu s}}+\ldots \right)\,;$

ainsi, dans ce cas, le rapport de la demi-circonférence au rayon disparaît, et il ne reste que la seule quantité transcendante $e.$

Voyons maintenant de quelle nature est la fonction $y_{s}\,;$ pour cela il faut intégrer l’équation aux différences finies

$0=(s+1)y_{s}-y_{s+1}\,;$

or on trouvera facilement que son intégrale est

$y_{s}=\mathrm {Y} (\mu +1)(\mu +2)(\mu +3)\ldots s.$

On aura donc, en comparant cette expression avec celle de la formule $(q),$

$(q'')\qquad (\mu +1)(\mu +2)(\mu +3)\ldots s={\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right)}{\int x^{\mu }dxe^{-x}}}.$

Si l’on suppose $\mu =0,$ on aura

$\int x^{\mu }dxe^{-x}=1,$

partant

$1.2.3\ldots s=s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right).$

Si l’on fait $\mu ={\frac {m}{n}},\ m$ étant moindre que $n,$ on aura

$s=s'+{\frac {m}{n}},$