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$s'$ étant un nombre entier ; ainsi

$s^{s+{\frac {1}{2}}}=\left(s'+{\frac {m}{n}}\right)^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}\,;$

or il est facile de s’assurer par le numéro précédent que, si $s'$ est un grand nombre, on a

$\left(s'+{\frac {m}{n}}\right)^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}=s'^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}e^{\frac {m}{n}}\left(1+{\frac {nm+m^{2}}{2n^{2}s'}}+\ldots \right).$

On a d’ailleurs, en faisant $x=t^{n},$

$\int x^{\frac {m}{n}}dxe^{-x}=n\int t^{m+n-1}dte^{-t^{2}}=m\int t^{m-1}dte^{-t^{n}},$

l’intégrale relative à $t$ étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty \,;$ la formule $(q'')$ donnera donc

${\begin{aligned}m&(m+n)(m+2n)(m+3n)\ldots (m+s'n)\\&=n^{s'}{\frac {s'^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}e^{-s'}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\cfrac {n^{2}+6nm+6m^{2}}{12n^{2}s'}}+\ldots \right)}{\int t^{m-1}dte^{-t^{n}}}},\end{aligned}}$

en sorte que la valeur approchée du produit de tous les termes de lu progression arithmétique $m,m+n,m+2n,\ldots ,m+s'n$ dépend des trois transcendantes $e,\pi$ et $\int t^{m-1}dte^{-t^{n}}.$

XX.

Les expressions de $y_{s},$ données par les formules $(q)$ et $(q'),$ ont encore lieu, suivant la remarque du n^o XVI, dans le cas où $s$ et $\mu$ sont négatifs, quoique, dans ce cas, l’équation $0=x^{s+1}e^{-x},$ qui détermine les limites de l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx,$ n’ait pas plusieurs racines réelles : on peut s’en assurer d’ailleurs en supposant la fonction $x^{s+1}e^{-x},$ qui doit devenir nulle aux deux extrémités de cette intégrale, égale à $\mathrm {Q} e^{-t^{2}},$ suivant la méthode du n^o XV, car alors on parviendrait à des expressions de $y_{s}$ facilement réductibles aux formules $(q)$ et $(q').$