Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/284

et nous avons observé dans le numéro cité que, en suivant cette méthode, la considération des racines de l’équation $0=x^{s+1}e^{-x}$ devient inutile.

Maintenant, si dans la formule $(q)$ on change $s$ dans $-s$ et $\mu$ dans $-\mu ,$ on aura

$y_{-s}=\mathrm {Y} {\frac {{\sqrt {-1}}e^{s}{\sqrt {2\pi }}\left(1-{\frac {1}{12s}}+\ldots \right)}{(-1)^{s}s^{s-{\frac {1}{2}}}\int {\frac {dxe^{-x}}{x^{\mu }}}}},$

$\mathrm {Y}$ étant la valeur de $y_{s}$ qui répond à $s=-\mu \,;$ toute la difficulté se réduit donc à intégrer la fonction différentielle ${\frac {e^{-x}dx}{x^{\mu }}}.$ Pour y parvenir, il faut suivre une méthode semblable à celle dont on a fait usage pour réduire en série l’intégrale $\int {\frac {dxe^{-x}}{x^{s}}}.$ On fera donc

$x=-\mu +\varpi {\sqrt {-1}},$

$-\mu$ étant la valeur de $x$ donnée par la condition $0=d{\frac {e^{-x}}{x^{\mu }}}$ du maximum ou du minimum de ${\frac {e^{-x}}{x^{\mu }}}\,;$ on aura ainsi

$\int {\frac {e^{-x}dx}{x^{\mu }}}={\frac {e^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\int {\frac {d\varpi e^{-\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}}.$

L’intégrale relative à $x$ devant s’étendre entre les deux limites qui rendent nulle la quantité ${\frac {e^{-x}}{x^{\mu }}},$ il est clair que l’intégrale relative à $\varpi$ doit s’étendre depuis $\varpi =-\infty$ jusqu’à $\varpi =\infty \,:$ en réunissant donc les deux quantités ${\frac {e^{-\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}}$ et ${\frac {e^{\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(\mu +\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}}$ qui répondent aux mêmes valeurs de $\varpi$ affectées de signes contraires, on aura

$\int {\frac {e^{-x}dx}{x^{\mu }}}={\frac {e^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}$

$\times \int d\varpi {\frac {\left\{{\begin{aligned}&\cos \varpi \left[\left(\mu +\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }+\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }\right]\\+{\sqrt {-1}}&\sin \varpi \left[\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }-\left(\mu +\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }\right]\end{aligned}}\right\}}{\left(\mu ^{2}+\varpi ^{2}\right)^{\mu }}},$

l’intégrale relative à $\varpi$ étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\infty .$ Si l’on développe les quantités sous le signe $\int ,$ les imaginaires disparaîtront, et il ne restera qu’une fonction réelle que nous désignerons par $\mathrm {Q} dx\,;$