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La première équation donne, en l’intégrant,

$\varphi ={\frac {\mathrm {A} }{\sqrt {4x-x^{2}}}}\,;$

la seconde devient ainsi

$0=x^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {4-x}}.$

Les limites de l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx$ ou $\mathrm {A} \int {\frac {x^{s-{\frac {1}{2}}}dx}{\sqrt {4-x}}}$ seront, par conséquent, $x=0$ et $x=4.$ Soit ${\sqrt {4-x}}=2u,$ on aura

$y_{s}=\mathrm {A} 2^{2s+1}\int \left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}du,$

cette dernière intégrale étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1.$

Pour la déterminer par approximation, nous ferons

${\frac {1}{s-{\cfrac {1}{2}}}}=\alpha \qquad {\text{et}}\qquad 1-u^{2}=e^{-\alpha t^{2}},$

ce qui donne

$u={\sqrt {1-e^{-\alpha t^{2}}}}$

et

$\int \left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}du=\int due^{-t^{2}}.$

Supposons

${\sqrt {1-e^{-\alpha t^{2}}}}=\alpha ^{\frac {1}{2}}t\left(1+\alpha q^{(1)}t^{2}+\alpha ^{2}q^{(2)}t^{4}+\alpha ^{3}q^{(3)}t^{6}+\alpha ^{4}q^{(4)}t^{8}+\ldots \right)\,;$

en prenant les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {1+3\alpha q^{(1)}t^{2}+5\alpha ^{2}q^{(2)}t^{4}+7\alpha ^{3}q^{(3)}t^{6}+\ldots }{t+\alpha q^{(1)}t^{3}+\alpha ^{2}q^{(2)}t^{5}+\alpha ^{3}q^{(3)}t^{7}+\ldots }}\\&\qquad ={\frac {\alpha te^{-\alpha t^{2}}}{1-e^{-\alpha t^{2}}}}={\frac {1-\alpha t^{2}+{\cfrac {1}{1.2}}\alpha ^{2}t^{4}-{\cfrac {1}{1.2.3}}\alpha ^{3}t^{6}+\ldots }{t-{\cfrac {\alpha t^{3}}{1.2}}+{\cfrac {\alpha ^{2}t^{5}}{1.2.3}}-{\cfrac {\alpha ^{3}t^{7}}{1.2.3.4}}+\ldots }}\,;\end{aligned}}$