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ce qui donne l’équation générale

${\begin{aligned}0=&2iq^{(i)}-{\frac {2i-3}{1.2}}q^{(i-1)}+{\frac {2i-6}{1.2.3}}q^{(i-2)}\\&-{\frac {2i-9}{1.2.3.4}}q^{(i-3)}+{\frac {2i-12}{1.2.3.4.5}}q^{(i-4)}-\ldots ,\end{aligned}}$

$q^{(0)}$ étant égal à l’unité. Si l’on fait successivement, dans cette équation, $i=1,\ i=2,\ i=3,\ldots ,$ on formera autant d’équations, au moyen desquelles il sera facile de déterminer les coefficients $q^{(1)},q^{(2)},q^{(3)},\ldots .$ Cela posé, on aura

$\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}=$

$\alpha ^{\frac {1}{2}}\int dte^{-t^{2}}\left(1+3\alpha q^{(1)}t^{2}+5\alpha ^{2}q^{(2)}t^{4}+7\alpha ^{3}q^{(3)}t^{6}+\ldots \right).$

L’intégrale relative à $u$ doit être prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1\,;$ ainsi $-\alpha t^{2}$ étant égal à $\log(1-u^{2}),$ l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty \,;$ or on a, dans ce cas,

$\int t_{2r}dte^{-t^{2}}={\frac {1.3.5\ldots (2r-1)}{2^{r}}}\int dte^{-t^{2}}={\frac {1.3.5\ldots (2r-1)}{2^{r+1}}}{\sqrt {\pi }}\,;$

donc

${\begin{aligned}\int &du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\alpha \pi }}\left(1+{\frac {1.3}{2}}\alpha q^{(1)}+{\frac {1.3.5}{2^{2}}}\alpha ^{2}q^{(2)}+{\frac {1.3.5.7}{2^{3}}}\alpha ^{3}q^{(3)}+\ldots \right)\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$y_{s}=\mathrm {A} 2^{2s}{\sqrt {\alpha \pi }}\left(1+{\frac {1.3}{2}}\alpha q^{(1)}+{\frac {1.3.5}{2^{2}}}\alpha ^{2}q^{(2)}+\ldots \right).$

Maintenant, si $s$ est un nombre entier positif, l’intégrale de l’équation proposée

$0=(2+4s)y_{s}-(s+1)y_{s+1}$

est

$y_{s}={\frac {y_{1}}{2}}{\frac {(s+1)(s+2)\ldots 2s}{1.2.3\ldots s}}\,;$

mais l’équation

$y_{s}=\mathrm {A} 2^{2s+1}\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}$