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d’où il suit que les limites de l’intégrale $\int x^{s-1}\varphi dx$ sont $x=0,$ et $x$ égal à l’une quelconque des racines de l’équation

$0=a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots .$

Le nombre de ces racines étant égal au degré de l’équation différentielle

$0=asy_{s}+b(s-1-\mu )y_{s-1}+\ldots ,$

on aura autant de valeurs particulières de $y_{s}$ qu’il y a d’unités dans ce degré, et leur somme sera l’expression complète de cette variable.

Cette méthode peut servir encore à déterminer les différences infiniment petites très élevées de la fonction $\left(a+bz+cz^{2}+hz^{3}+\ldots \right)^{\mu },$ prises relativement à $z\,;$ car, si l’on nomme $s$ le degré de cette différence, on aura

${\frac {d^{s}\left(a+bz+cz^{2}+hz^{3}+\ldots \right)^{\mu }}{dz^{s}}}$

$={\frac {d^{s}\left[a+b(z+u)+c(z+u)^{2}+h(z+u)^{3}+\ldots \right]^{\mu }}{du^{s}}},$

pourvu que l’on suppose $u=0$ après les différentiations dans le second membre de cette équation. Maintenant, si l’on désigne par $y_{s},$ le coefficient de $u^{s}$ dans le développement de $\left[a+b(z+u)+c(z+u)^{2}+\ldots \right]^{\mu },$ le second membre de l’équation précédente sera évidemment égal à $1.2.3\ldots sy_{s}\,;$ on aura donc

${\frac {d^{s}\left(a+bz+cz^{2}+hz^{3}+\ldots \right)^{\mu }}{dz^{s}}}=1.2.3\ldots sy_{s},$

$s$ étant un très grand nombre, on aura, par le n^o XIX, le produit $1.2.3\ldots s$ en série très convergente ; on a d’ailleurs, par ce qui précède,

$y_{s}=\mathrm {A} \int x^{s-1}dx\left[a+b\left(z+{\frac {1}{x}}\right)+c\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}+h\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{3}+\ldots \right]^{\mu },$

en prenant autant de termes semblables qu’il y a d’unités dans le degré de la fonction $a+bz+cz^{2}+\ldots$ et en les intégrant depuis