on aura
![{\displaystyle \Delta ^{n}{\frac {1}{s^{i}}}={\frac {\left({\cfrac {a}{i}}\right)^{i-1}e^{i-sa}\left(e^{-a}-1\right)^{n}}{\sqrt {2hi}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0c664797403f286deb35e086c6a984d3e17c6d)
![{\displaystyle \times \left(1+{\frac {15h'^{2}-12hh''}{16h^{3}}}+\ldots -{\frac {1}{12i}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8340c6e5bbefa3cb2aaa25b4693463a02ac3e0)
XXVII.
Pour avoir la différence finie
ième de la puissance positive
il suffit (no XVI ) de changer dans cette équation
dans
et l’on aura
![{\displaystyle (\mu ')\left\{{\begin{aligned}&\Delta ^{n}s^{i}=(s+n)^{i}-n(s+n-1)^{i}\\&+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s+n-2)^{i}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}(s+n-3)^{i}+\ldots \\&={\frac {\left({\frac {i}{a}}\right)^{i+1}e^{sa-i}\left(e^{a}-1\right)^{n}}{\sqrt {{\frac {i(i+1)}{a^{2}}}-ni{\frac {e^{a}}{\left(e^{a}-1\right)^{2}}}}}}\left(1+{\frac {15l'^{2}-12ll''}{16l^{3}}}+\ldots +{\frac {1}{12i}}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b6bc0359199bf3e8025112077b0e8fbd6c4360)
étant donnés par les équations suivantes :
![{\displaystyle 0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {ne^{a}}{e^{a}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31b532a745b0b1203a962084945934d4d13c44c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}l\ \,=&-{\frac {i+1}{2a^{2}}}-{\frac {n}{2}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}+{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2},\\l'\ =&-{\frac {i+1}{3a^{3}}}+{\frac {n}{6}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2}+{\frac {n}{3}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{3},\\l''=&-{\frac {i+1}{4a^{4}}}-{\frac {n}{24}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}+{\frac {7n}{24}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{3}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {n}{4}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fcf5800a7966c6adfccf4c9104c1d6f1aa7ee25)
On arriverait au même résultat en résolvant directement, par la méthode du no XV, l’équation aux différences finies et infiniment petites
![{\displaystyle 0=\Delta ^{n}\left(iy_{s}-s{\frac {dy_{s}}{ds}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ef09a444a7d0a3c5c22e4a8c48c180dc0a2e0c)
ou celle-ci
![{\displaystyle 0=(s+n)\Delta {\frac {dy'_{s}}{ds}}+n{\frac {dy'_{s}}{ds}}-i\Delta y'_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed44f5714ee1cc050899114d4760c0260bad4769)
dans laquelle ![{\displaystyle y'_{s}=\Delta ^{n-1}y_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e138da52fb31bad83fb17bb2b68063248ea65a84)