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partant, on aura

$(\mu '')\left\{{\begin{aligned}&\Delta ^{n}s^{i}=(i-n+1)(i-n+2)\ldots i\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{i-n}\\&\times \left[1+(i-n)(i-n-1){\frac {n}{24\left(s+{\cfrac {n}{2}}\right)^{2}}}\right.\\&\left.+(i-n)(i-n-1)(i-n-2)(i-n-3){\frac {n(5n-2)}{15.16.24\left(s+{\cfrac {n}{2}}\right)^{4}+\ldots }}\right].\end{aligned}}\right.$

Cette série est très convergente si $i-n$ est peu considérable relativement à $s+{\frac {n}{2}}\,;$ elle peut d’ailleurs être employée dans le cas où $i$ est fractionnaire ; quant au produit $(i-n+1)(i-n+2)\ldots i,$ il sera facile de l’obtenir en série par le n^o XIX.

Dans le cas où $i=n,$ la formule précédente donne

$\Delta ^{n}s^{i}=1.2.3\ldots i,$

ce qui est conforme à ce que l’on sait d’ailleurs.

XXIX.

Les formules $(\mu ')$ et $(\mu '')$ des deux numéros précédents supposent $n$ légal ou moindre que $i\,;$ en effet, si l’on considère l’expression

$\Delta ^{n}s^{i}={\frac {\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}}{\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}e^{-x}}},$

dont le développement a produit ces formules, on voit que les limites des intégrales du numérateur et du dénominateur étant déterminées en égalant à zéro les quantités sous les signes $\int ,$ ces limites seront toutes imaginaires lorsque $i+1$ sera plus grand que $n\,;$ au lieu que, dans le cas où $i+1$ sera moindre que $n,$ les limites de l’intégrale du numérateur seront réelles, tandis que celles de l’intégrale du dénominateur seront imaginaires ; il faut donc alors ramener ces dernières