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limites à l’état réel. Pour y parvenir, nous observerons que l’on a généralement

$\int x^{i-1}dxe^{-x}={\frac {\int x^{i+r}dxe^{-x}}{i(i+1)(i+2)\ldots (i+r)}}\,;$

si l’on fait dans cette expression $i$ négatif et égal à $-r-{\frac {m}{n}},\ m$ étant moindre que $n,$ on aura

$\int {\frac {dxe^{-x}}{x^{i+1}}}={\frac {(-1)^{r+1}\int x^{-{\frac {m}{n}}}dxe^{-x}}{{\frac {m}{n}}\left(1+{\frac {m}{n}}\right)\left(2+{\frac {m}{n}}\right)\ldots i}}.$

Or on a, par le n^o XIX,

$\left(1+{\frac {m}{n}}\right)\left(2+{\frac {m}{n}}\right)\ldots i={\frac {\int x^{i}dxe^{-x}}{\int x^{\frac {m}{n}}dxe^{-x}}},$

partant

$\int {\frac {dxe^{-x}}{x^{i+1}}}={\frac {(-1)^{r+1}n\int x^{-{\frac {m}{n}}}dxe^{-x}\int x^{\frac {m}{n}}dxe^{-x}}{m\int x^{i}dxe^{-x}}}\,;$

c’est l’expression de $\int {\frac {dxe^{-x}}{x^{i+1}}}$ dont on doit faire usage dans le cas que nous examinons ici.

Si l’on fait $x=t^{n},$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {m}{n}}\int x^{-{\frac {m}{n}}}dxe^{-x}\int x^{\frac {m}{n}}dxe^{-x}=&{\frac {n^{3}}{m}}\int t^{n-m-1}dte^{-t^{n}}\int t^{n+m-1}dte^{-t^{n}}\\=&n^{2}\int t^{n-m-1}dte^{-t^{n}}\int t^{m-1}dte^{-t^{n}},\end{aligned}}$

et l’équation (T) du n^o IV donnera, en y changeant $r$ dans $m+1,$

$n^{2}\int t^{m-1}dte^{-t^{n}}\int t^{n-m-1}dte^{-t^{n}}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {m\pi }{n}}}}\,;$

on aura donc

$\int {\frac {dxe^{-x}}{x^{i+1}}}={\frac {(-1)^{r+1}\pi }{\sin {\cfrac {m\pi }{n}}\int x^{i}dxe^{-x}}},$