Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/32

${\frac {1}{t^{i}}}$ étant égal au coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{1-{\cfrac {\theta }{t}}}},$ on multipliera le numérateur et le dénominateur de cette fraction par

$(a-z)\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q$

et, en substituant dans le numérateur au lieu de $z$ sa valeur $a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots ,$ on aura

${\frac {b\theta ^{n-1}\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)+c\theta ^{n-2}\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{t^{2}}}\right)+e\theta ^{n-3}\left(1-{\frac {\theta ^{3}}{t^{3}}}\right)+\ldots +q\left(1-{\frac {\theta ^{n}}{t^{n}}}\right)}{\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)\left(a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}\right)}}.$

Le numérateur de cette fraction est divisible par $1-{\frac {\theta }{t}}\,;$ on peut donc, en faisant la division, la mettre sous cette forme

(A)

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +p\theta +q\\+&{\frac {\theta }{t}}\left(c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +p\theta +q\right)\\+&{\frac {\theta ^{2}}{t^{2}}}\left(e\theta ^{n-3}+\ldots +p\theta +q\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {q\theta ^{n-1}}{t^{n-1}}}\end{aligned}}\right\}}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}$

La recherche du coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de cette fraction se réduit ainsi à déterminer, quel que soit $r,$ le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de la fraction

${\frac {1}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}.$

Pour cela, considérons généralement la fraction $\mathrm {{\frac {P}{Q}},\ P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des fonctions rationnelles et entières de $\theta ,$ la première étant d’un ordre inférieur à celui de la seconde. Supposons que $\mathrm {Q}$ ait un facteur $\theta -\alpha$