Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/367

Nous n’aurons égard dans ces recherches qu’aux solides terminés par des surfaces finies, ce qui suppose metn positifs, et, dans ce cas, le solide est un ellipsoïde dont les trois demi-axes sont égaux aux variables $x,y,z,$ lorsqu’on suppose deux d’entre elles égales à zéro ; on aura ainsi $k,{\frac {k}{\sqrt {m}}}$ et ${\frac {k}{\sqrt {n}}}$ pour ces trois demi-axes respectivement parallèles aux $x,$ aux $y$ et aux $z,$ et la solidité de l’ellipsoïde sera ${\frac {4\pi k^{2}}{3{\sqrt {mn}}}},$ en désignant par $\pi ,$ comme nous le ferons toujours dans la suite, le rapport de la demi-circonférence au rayon.

II.

Pour déterminer l’attraction d’un pareil sphéroïde sur un point quelconque, soient

$\mathrm {A}$ l’attraction du sphéroïde sur ce point, décomposée parallèlement à l’axe des $x\,;$

$\mathrm {B}$ cette attraction décomposée parallèlement à l’axe des $y\,;$

$\mathrm {C}$ cette même attraction décomposée parallèlement à l’axe des $z.$

Soient encore

$a,b,c$ les trois coordonnées du point attiré, parallèlement à ces axes ;

$x,y,z$ celles d’une molécule $d\mathrm {M}$ du sphéroïde ;

$r$ un rayon mené de cette molécule au point attiré ;

$p$ le complément de l’angle que forme ce rayon avec le plan des $y$ et des $z$ ;

$q$ l’angle que forme la projection de ce rayon sur ce plan avec l’axe des $y.$

On aura

${\begin{aligned}x=&a-r\cos p,\\y=&b-r\sin p\cos q,\\z=&c-r\sin p\sin q.\end{aligned}}$

La molécule $d\mathrm {M}$ est égale au parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont $dr,rdp$ et $rdq\sin p,$ et dont la masse est, par consé-