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Pour cela, nous observerons que, si l’on met dans l’équation générale $x^{2}+my^{2}+nz^{2}=k^{2},$ au lieu de $x,y,z,$ leurs valeurs précédentes, on aura

${\begin{aligned}r^{2}&\left(\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q\right)\\&\quad -2r(a\cos p+mb\sin p\cos q+nc\sin p\sin q)\\&=k^{2}-a^{2}-mb^{2}-nc^{2},\end{aligned}}$

en sorte que, si l’on suppose

${\begin{aligned}\mathrm {L} =&\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q,\\\mathrm {I} \ =&a\cos p+mb\sin p\cos q+nc\sin p\sin q,\\\mathrm {R} =&\mathrm {I} ^{2}+\left(k^{2}-a^{2}-mb^{2}-nc^{2}\right)\mathrm {L} ,\end{aligned}}$

on aura

$r=\mathrm {\frac {I\pm {\sqrt {R}}}{L}} ,$

d’où l’on tire $r'$ en prenant le radical en plus, et $r$ en le prenant en moins ; on aura donc

$r'+r=\mathrm {\frac {2I}{L}} ,\qquad r'-r=\mathrm {\frac {2{\sqrt {R}}}{L}} ,$

ce qui donne, relativement aux points intérieurs du sphéroïde,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&2\iint {\frac {dpdq\mathrm {I} \sin p\cos q}{\mathrm {L} }},\\\mathrm {B} =&2\iint {\frac {dpdq\mathrm {I} \sin ^{2}p\cos q}{\mathrm {L} }},\\\mathrm {C} =&2\iint {\frac {dpdq\mathrm {I} \sin ^{2}p\sin q}{\mathrm {L} }},\end{aligned}}$

et, relativement aux points extérieurs,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&2\iint {\frac {dpdq\sin p\cos q{\sqrt {\mathrm {R} }}}{\mathrm {L} }},\\\mathrm {B} =&2\iint {\frac {dpdq\sin ^{2}p\cos q{\sqrt {\mathrm {R} }}}{\mathrm {L} }},\\\mathrm {C} =&2\iint {\frac {dpdq\sin ^{2}p\sin q{\sqrt {\mathrm {R} }}}{\mathrm {L} }},\end{aligned}}$