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la nature des fonctions homogènes, on a

${\begin{aligned}a{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial a}}\quad +b{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial b}}\ \ \ +c{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial c}}\quad =&-(s+1)\mathrm {U} ^{(i)},\\a{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i+1)}}{\partial a}}+b{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i+1)}}{\partial b}}+c{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i+1)}}{\partial c}}=&-(s'+1)\mathrm {U} ^{(i+1)},\end{aligned}}$

on aura, en rejetant les termes d’une dimension en $k,{\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }},$ supérieure à celle des termes que l’on conserve

(2)

$\mathrm {U} ^{(i+1)}={\frac {\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}(s+1)k^{3}{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial k}}-(s+1)\theta ^{2}{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \theta }}\\-&(s+1)\varpi ^{2}{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \varpi }}-{\frac {s+1}{2}}(\theta +\varpi )\mathrm {U} ^{(i)}\\-&(s+{\frac {3}{2}})b\theta {\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial b}}-(s+{\frac {3}{2}})c\varpi {\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial c}}\end{aligned}}\right\}}{s'{\cfrac {s'+3}{2}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}}$

Cette équation donne la valeur de $\mathrm {U} ^{(i+1)}$ au moyen de $\mathrm {U} ^{(i)}$ et de ses différences partielles ; or on a

$\mathrm {U} ^{(0)}={\frac {1}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},$

puisque, en n’ayant égard qu’au premier terme de la série, nous avons trouvé dans l’article IV

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.$

En substituant donc cette valeur de $\mathrm {U} ^{(0)}$ dans la formule précédente, on aura celle de $\mathrm {U} ^{(1)}\,;$ au moyen de $\mathrm {U} ^{(1)}$ on aura $\mathrm {U} ^{(2)},$ et ainsi de suite ; mais il est remarquable qu’aucune de ces quantités ne renferme $k,$ car il est clair, par la formule (2), que $\mathrm {U} ^{(0)}$ ne renfermant point $k,\ \mathrm {U} ^{(1)}$ ne le renfermera pas ; que $\mathrm {U} ^{(1)}$ ne le renfermant point, $\mathrm {U} ^{(2)}$ ne le renfermera pas, et ainsi du reste ; en sorte que la série entière $\mathrm {U^{(0)}+U^{(1)}+U^{(2)}+U^{(3)}} +\ldots$ est indépendante de $k$ ou, ce qui revient au même, ${\frac {\partial \upsilon }{\partial k}}=0.$ Les valeurs de $\upsilon ,-{\frac {\partial \upsilon }{\partial a}},-{\frac {\partial \upsilon }{\partial b}}$ et $-{\frac {\partial \upsilon }{\partial c}}$ sont donc les mêmes pour tous les sphéroïdes elliptiques semblablement situés