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sphéroïdes de révolution sera

$\mathrm {V} ={\frac {\lambda ^{(0)}\mathrm {A} ^{(0)}}{r}}+{\frac {\lambda ^{(1)}\mathrm {A} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {\lambda ^{(2)}\mathrm {A} ^{(2)}}{r^{3}}}+{\frac {\lambda ^{(3)}\mathrm {A} ^{(3)}}{r^{4}}}+\ldots .$

Si l’on fait $\mu =1,$ on aura la valeur de $\mathrm {V}$ relative à un point placé sur le prolongement de l’axe de révolution, à la distance $r$ de l’origine des coordonnées ; et, comme alors on a, par ce qui précède.

$\lambda ^{(i)}=1,$

on aura

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {A} ^{(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {A} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {A} ^{(3)}}{r^{4}}}+\ldots .$

Ainsi, lorsqu’on aura déterminé en série la valeur de $\mathrm {V}$ relative à un point placé sur le prolongement de l’axe de révolution, on aura cette même valeur relativement à un point quelconque placé à la même distance de l’origine des coordonnées, mais sur un rayon qui fait avec l’axe de révolution un angle dont $\mu$ est le cosinus, en multipliant les termes de la première série respectivement par $\lambda ^{(0)},\lambda ^{(1)},\lambda ^{(2)},\ldots .$

Lorsque le point attiré est placé sur le prolongement de l’axe de révolution, il est aisé de voir que, en nommant $x$ l’abscisse et $y$ l’ordonnée du méridien du sphéroïde, et en représentant par $y=\mathrm {X}$ l’équation de ce méridien, on aura

$\mathrm {V} =2\pi \int dx\left[x-r+{\sqrt {(r-x)^{2}+\mathrm {X} ^{2}}}\right],$

l’intégrale devant s’étendre $k$ l’axe entier de révolution ; cette intégrale réduite, dans une suite descendante par rapport aux puissances de $r,$ donnera les valeurs de $\mathrm {A^{(0)},A^{(1)},A^{(2)}} ,\ldots .$

XI.

Considérons maintenant l’expression générale de ${\text{ϐ}}$ lorsque $n$ n’est pas nul. Si l’on fait, dans l’expression de $\mathrm {T} ,\ \cos \theta '=0,$ on aura

$\mathrm {T} ={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \sin \theta \cos(\varpi -\varpi ')+\mathrm {R} ^{2}}}},$