cocfïicient de
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} ^{i}}{r^{i+1}}}{\frac {e^{n(\varpi -\varpi '){\sqrt {-1}}}+e^{-n(\varpi -\varpi '){\sqrt {-1}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7014aadff7af0823008a48d17cbe51b390e0fe6b)
ou ce qui revient au même, de
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} ^{i}}{r^{i+1}}}\cos n(\varpi -\varpi ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4543cfac6d758cf5762c0d7450d4fe0fd2c141)
dans le développement de cette fonction, est égal à
![{\displaystyle 2{\frac {1.3.5\ldots (i+n-1).1.3.5\ldots (i-n-1)}{2.4.6\ldots (i+n).2.4.6\ldots (i-n)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e11018db68b7a908eb3689d13f9679a4d6f023)
c’est la valeur de
ou de
lorsqu’on y fait
et
nuls ; or on a, dans cette hypothèse,
on aura donc ainsi la valeur de
En la combinant avec celle que nous venons de trouver pour
il est facile d’en conclure
![{\displaystyle \gamma ={\frac {2(i+n+1)(i+n+3)\ldots (2i-1)(i-n+1)(i-n+3)\ldots (2i-1)}{2.4.6\ldots (i+n).2.4.6\ldots (i-n)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33871b224ba196e98c520a9f55f93d2c105d473)
la valeur générale de
sera, par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ϐ}}=&{\frac {2(i+n+1)\ldots (2i-1)(i-n+1)\ldots (2i-1)}{2.4\ldots (i+n).2.4\ldots (i-n)}}\\&\times \left[\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {i}{2}}\ -{\frac {i^{2}-n^{2}}{2(2i-1)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{{\frac {i}{2}}-1}\ +\ldots \right]\\&\times \left[\left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {i}{2}}-{\frac {i^{2}-n^{2}}{2(2i-1)}}\left(1-\mu '^{2}\right)^{{\frac {i}{2}}-1}+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a214eb81119427da011db9e71a44edecf11463cb)
Si l’on fait successivement, dans le terme ![{\displaystyle {\text{ϐ}}\cos n(\varpi -\varpi '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb66445cf6b010e4e3925f62d1a191dcc2f51bb4)
la somme de ces termes sera la partie de
dépendante de l’angle
en lui ajoutant la partie qui en est indépendante, et que nous avons déterminée dans l’article précédent, on aura la valeur entière de
d’où l’on tirera celle de
et par conséquent la valeur de
en série.