ainsi, pour la valeur de
relative à un sphéroïde très peu différent de la sphère,
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}(1+\alpha y)^{3}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6175c9219be7564eedb995700b3cb19f2221a69a)
![{\displaystyle +\alpha a^{3}\int {\frac {(y'-y)d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2ar\left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+a^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a0a22295f5050f54ab7d182d40ee5b3589ae26)
Si l’on différentie cette équation par rapport à
on aura
![{\displaystyle -{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}(1+\alpha y)^{3}}{r^{2}}}+\alpha a^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf19f7af28e7b1f96e5d8392cb426c86b1c4098)
![{\displaystyle \times \int {\frac {(y'-y)d\varpi 'd\theta '\sin \theta '\left\{r-2a\left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]\right\}}{\left\{r^{2}-2ar\left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+a^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e390dd831b4871c0e0359e0f749cb3777954dc)
ce qui donne à la surface du sphéroïde, où ![{\displaystyle r=a(1+\alpha y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7922a17ac6447f1fec39b41675822c2651ce0fb1)
![{\displaystyle -{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}={\frac {4}{3}}\pi a(1+\alpha y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00adb4e8844ba1e21b93a272ad6c962ee77aff3)
![{\displaystyle +\alpha a\int {\frac {(y'-y)d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{2^{\frac {3}{2}}{\sqrt {1-\cos \theta \cos \theta '-\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8326c5762aca6abe0ce8eed2d8025da87a9051)
mais la valeur de
devient dans ce cas
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi a^{2}(1+2\alpha y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6db6381ca65c83615171d4de2a4d7dfe6789c0d)
![{\displaystyle +\alpha a^{2}\int {\frac {(y'-y)d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{2^{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-\cos \theta \cos \theta '-\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef462d8bfe39ab173cdeaab695e819436a79fe8)
on a donc à la surface du sphéroïde cette équation remarquable
(6)
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Reprenons maintenant la formule de l’article IX
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {U} ^{(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(2)}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(3)}}{r^{4}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42da59b2960489136676ced22a0e995c25e4e71b)
Puisque le sphéroïde diffère très peu d’une sphère du rayon
il est évident que l’on aura, aux quantités près de l’ordre
d’où il suit que dans la formule précédente : 1o la quantité
est égale à
plus à une très petite quantité de l’ordre
et que nous désignerons par
2o les quantités
sont très petites de