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Troisième Section.

Des attractions des sphéroïdes très peu différents de la sphère.

XIII.

Les résultats que nous venons de présenter sur les attractions des sphéroïdes quelconques se simplifient relativement aux sphéroïdes très peu différents de la sphère, et donnent une théorie complète de leurs attractions, en les supposant même hétérogènes.

Considérons d’abord le cas où le point attiré est extérieur au sphéroïde, et reprenons la formule de l’article VIII

$\mathrm {V} =\int {\frac {\mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+\mathrm {R} ^{2}}}}.$

Supposons que le rayon $\mathrm {R} ',$ mené du centre du sphéroïde à sa surface, soit très peu différent de la constante $a,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {R} '=a(1+\alpha y),$

$\alpha$ étant un très petit coefficient dont nous négligerons le carré et les puissances supérieures, et $y$ étant une fonction quelconque de $\mu$ ou de $\cos \theta$ et de l’angle $\varpi .$

Cela posé, si l’on conçoit une sphère dont le centre soit celui du sphéroïde et dont le rayon soit $a(1+\alpha y),\ \mu$ et $\varpi$ étant supposés constants dans $y,$ il est clair que la valeur de $\mathrm {V}$ relative au sphéroïde sera égale à sa valeur relativement à cette sphère, plus à la valeur de $\mathrm {V}$ relative à l’excès du sphéroïde sur la sphère. La première de ces deux valeurs étant, par l’article VI, égale à la masse de la sphère divisée par $r,$ sera ${\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}(1+\alpha y)^{3}}{r}}.$ Quant à la seconde, on la déterminera en faisant, dans l’expression intégrale de $\mathrm {V} ,$

$\mathrm {R} =a\qquad {\text{et}}\qquad d\mathrm {R} =\alpha a(y'-y),$

$y'$ étant ce que devient $y$ lorsqu’on y change $\theta$ et $\varpi$ en $\theta '$ et $\varpi '\,;$ on aura