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roïde, rapportée à trois coordonnées orthogonales, est une fonction rationnelle et entière de ces coordonnées.

XIV.

Si l’on nomme $x'',y'',z''$ ces coordonnées, l’équation de la surface du sphéroïde pourra être mise sous cette forme

$x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}=a^{2}\left[1+2\alpha \varphi (x'',y'',z'')\right],$

$\varphi (x'',y'',z'')$ étant une fonction rationnelle et entière de $x'',y'',z''.$ Soit $i$ le degré de cette fonction : comme elle est multipliée par $\alpha ,$ on pourra y substituer, au lieu de $z'',$ sa valeur ${\sqrt {a^{2}-x''^{2}-y''^{2}}},$ approchée aux quantités près de l’ordre $\alpha \,;$ elle sera ainsi composée de deux parties : l’une rationnelle et entière, en $x''$ et $y'',$ de l’ordre $i,$ et l’autre rationnelle et entière de l’ordre $i-1$ et multipliée par ${\sqrt {a^{2}-x''^{2}-y''^{2}}}.$ Le nombre des coefficients de la première partie est ${\frac {(i+1)(i+2)}{2}},$ et celui des coefficients de la seconde est ${\frac {i(i+1)}{2}},$ en sorte que le nombre de coefficients de la fonction entière est $(i+1)^{2}.$

Cela posé, si l’on nomme, comme ci-dessus, $a(1+\alpha y)$ le rayon du sphéroïde ; $\theta$ l’angle que forme ce rayon avec l’axe des $x''\,;\ \varpi$ l’angle que forme avec le plan des $x''$ et des $y''$ celui qui passe par l’axe des $x''$ et par le point de la surface déterminé par les coordonnées $x'',y''$ et $z''\,;$ on aura, en faisant $\cos \theta =\mu ,$

${\begin{aligned}x''=&a(1+\alpha y)\mu ,\\y''=&a(1+\alpha y){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\z''=&a(1+\alpha y){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \,;\end{aligned}}$

l’équation précédente donnera donc, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

$y=\varphi \left(a\mu ,\ a{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\ a{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \right).$

Cette dernière fonction peut être mise sous la forme

$\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+\ldots +Y} ^{(i)},$