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car, $\mathrm {Y} ^{(i)}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$ qui satisfait à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)},$

il est visible qu’elle sera composée : 1^o d’une partie indépendante de $\varpi$ et qui aura un coefficient indéterminé ; 2^o de parties multipliées par

$\cos \varpi ,\quad \cos 2\varpi ,\quad \cos 3\varpi ,\quad \ldots \quad \cos i\varpi ,$

qui auront chacune un coefficient indéterminé ; 3^o de parties multipliées par

$\sin \varpi ,\quad \sin 2\varpi ,\quad \sin 3\varpi ,\quad \ldots \quad \sin i\varpi ,$

et qui auront chacune un coefficient indéterminé. Le nombre des coefficients indéterminés de $\mathrm {Y} ^{(i)}$ sera donc $2i+1,$ et par conséquent celui des coefficients indéterminés de la fonction $\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+\ldots +Y} ^{(i)}$ sera $(i+1)^{2}\,;$ il sera donc le même que celui des coefficients de la fonction $\varphi \left(a\mu ,\ a{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\ a{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \right),$ d’où il suit que l’on peut transformer la seconde de ces deux fonctions dans la première. Cette possibilité étant une fois démontrée, on pourra exécuter la transformation de la manière suivante.

L’équation précédente aux différences partielles donne celle-ci

${\frac {\partial \left(1-\mu ^{2}\right)\partial \left(\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+\ldots +Y} ^{(i)}\right)}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\left(\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+\ldots +Y} ^{(i)}\right)}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}$

$=-1.2\mathrm {Y} ^{(1)}-2.3\mathrm {Y} ^{(2)}-\ldots -i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}$

ou, ce qui revient au même,

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial y}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}y}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}\\&\quad =-1.2\mathrm {Y} ^{(1)}-2.3\mathrm {Y} ^{(2)}-3.4\mathrm {Y} ^{(3)}-\ldots -i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}.\end{aligned}}$