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face dont $\theta$ est la distance à la nouvelle origine de l’angle $\theta \,;$ nommons de plus $\varpi +{\text{ϐ}}$ l’angle compris entre les deux arcs $\theta$ et $\gamma ,$ nous aurons, par la Trigonométrie sphérique,

$\cos \theta '=\cos \gamma \cos \theta +\sin \gamma \sin \theta \cos(\varpi +{\text{ϐ}})\,;$

en désignant donc par $\psi (\cos \theta ')$ la fonction

$\cos ^{i}\theta '-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\cos ^{i-2}\theta '+\ldots ,$

le rayon du sphéroïde immobile en équilibre que nous venons de voir être égal à

$a+\alpha a\psi \left[\cos \gamma \cos \theta +\sin \gamma \sin \theta \cos(\varpi +{\text{ϐ}})\right],$

et, quoiqu’il soit fonction de l’angle $\varpi ,$ il appartient à un solide de révolution, mais dans lequel l’origine de l’angle $\theta$ n’est point à l’extrémité de l’axe de révolution.

Puisque ce rayon satisfait à l’équation de l’équilibre, quels que soient $\alpha ,{\text{ϐ}}$ et $\gamma ,$ il y satisfera encore en changeant ces quantités en $\alpha ',{\text{ϐ}}',\gamma '\,;$$\alpha '',{\text{ϐ}}'',\gamma '',\ldots ,$ d’où il suit que cette équation étant linéaire, le rayon

${\begin{aligned}a&+\alpha \ a\psi \left[\cos \gamma \ \cos \theta +\sin \gamma \ \sin \theta \cos(\varpi +{\text{ϐ}}\ )\right]\\&+\alpha 'a\psi \left[\cos \gamma '\cos \theta +\sin \gamma '\sin \theta \cos(\varpi +{\text{ϐ}}')\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

y satisfera pareillement. Le sphéroïde auquel ce rayon appartient n’est plus de révolution : il est formé d’une sphère du rayon $a$ et d’un nombre quelconque de couches semblables à l’excès sur la sphère du sphéroïde de révolution dont le rayon est $a+\alpha a\psi (\mu '),$ ces couches étant posées arbitrairement les unes au-dessus des autres.

Si l’on compare l’expression de $\psi (\mu ')$ avec celle de $\mathrm {Q} ^{(i)}$ de l’article X, on verra que ces deux fonctions ne diffèrent que par un facteur indépendant de $\mu \,;$ d’où il suit que l’on a

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \psi (\mu ')}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\psi (\mu ')}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\psi (\mu ').$