Il est facile d’en conclure que, si l’on représente par
la fonction
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha \ \psi \left[\cos \gamma \ \cos \theta +\sin \gamma \ \sin \theta \cos(\varpi +{\text{ϐ}}\ )\right]\\+&\alpha '\psi \left[\cos \gamma '\cos \theta +\sin \gamma '\sin \theta \cos(\varpi +{\text{ϐ}}')\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1796612f2d7882cfd9d3c3f70dbfc7958e14b5ed)
sera une fonction rationnelle et entière de
![{\displaystyle \mu ,\quad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\quad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb307aa142342365a62693280178da5ac2eb3da)
qui satisfera à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd82ac901c09d275a73735b90a34fbed7605e02e)
En choisissant donc pour
la fonction la plus générale de cette nature, la fonction
sera l’expression la plus générale du rayon du sphéroïde immobile en équilibre.
On peut parvenir au même résultat au moyen de l’expression de
en séries de l’article XIII, car l’équation de l’équilibre étant, par l’article précédent,
![{\displaystyle \mathrm {const.=V} +a^{2}\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d92ee23efb43a1f7e9da05f13c9f9ea0e1f27f)
si l’on suppose que toutes les forces étrangères à l’action des molécules fluides se réduisent à une seule force attractive égale à
placée au centre du sphéroïde, en multipliant cette force par l’élément
la direction et en l’intégrant ensuite, on aura
![{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi {\frac {(\rho -1)c^{3}}{r}}=a^{2}\mathrm {N} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e8c95ecb30440050a722c6d1834373c737481d)
comme à la surface
l’équation précédente de l’équilibre deviendra
![{\displaystyle \mathrm {const} .=\mathrm {V} +{\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {c^{3}}{a}}(1-\rho )y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f577366cb978f8bad4d7411a5795e829341b4f38)
En substituant dans cette équation au lieu de
sa valeur donnée par la formule (7) de l’article XIII, dans laquelle on mettra pour
sa valeur à la surface
et en substituant pour
sa valeur
![{\displaystyle \mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4694df941d3bf33cbcb86fe48d002bd5cc03ab6)