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et, quel que soit $i,$

$0={\frac {4\pi }{3}}\mathrm {Y} ^{(i)}\int \rho da^{3}-{\frac {4\pi }{2i+1}}\int \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)}\right)-\mathrm {Z} ^{(i)}$

pourvu que l’on suppose $\mathrm {Z} ^{(1)}=0,$ parce que cette fonction manque dans l’équation (16). Les intégrales doivent être prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=1.$

La pesanteur $p$ sera donnée par cette formule

${\begin{aligned}p={\frac {4}{3}}\pi \int \rho da^{3}&-{\frac {8\alpha \pi }{3}}\left(\mathrm {Y} ^{(0)}+\mathrm {Y} ^{(1)}+\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right)\int \rho da^{3}\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {2a^{4}}{3}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {3a^{5}}{5}}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right)\\&-\alpha \left(2\mathrm {Z} ^{(0)}+2\mathrm {Z} ^{(2)}+3\mathrm {Z} ^{(3)}+4\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Si l’on élimine les termes

$\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}\right),\quad \int \rho d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right),\quad \ldots$

au moyen de l’équation précédente en $\mathrm {Y} ^{(i)}$ et que, pour abréger, l’on suppose

$\mathrm {P} ={\frac {4\pi }{3}}\left(1-\alpha \mathrm {Y} ^{(0)}\right)\int \rho da^{3}-3\alpha \mathrm {Z} ^{(0)},$

on aura

(17)

$\left\{{\begin{aligned}p=\mathrm {P} &+\alpha \mathrm {P} \left[\ \mathrm {Y} ^{(2)}+2\mathrm {Y} ^{(3)}+3\mathrm {Y} ^{(4)}+\ldots +(\ \,i-1)\mathrm {Y} ^{(i)}+\ldots \right]\\&-\alpha \ \ \,\left[5\mathrm {Z} ^{(2)}+7\mathrm {Z} ^{(3)}\,+9\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots +(2i+1)\mathrm {Z} ^{(i)}+\ldots \right].\end{aligned}}\right.$

Cette expression est remarquable, en ce qu’elle donne la loi de la pesanteur à la surface du sphéroïde, indépendamment de la figure et de la densité de ses couches intérieures ; en sorte que, si, par les mesures des degrés des méridiens et des parallèles, on a le rayon $1+\alpha \left(\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}} +\ldots \right)$ du sphéroïde, et si, de plus, on connaît les quantités $\mathrm {Z^{(2)},Z^{(3)}} ,\ldots$ relatives à la force centrifuge du mouvement de rotation et aux attractions étrangères, on aura la variation $p-\mathrm {P}$ de la pesanteur à la surface du sphéroïde, et, réciproquement, si cette variation est donnée par les expériences sur la longueur du pendule, on aura le rayon $1+\alpha y$ du sphéroïde ; car, quoique la