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valeur de $p$ ne donne point $\mathrm {Y} ^{(0)}$ et $\mathrm {Y} ^{(1)},$ cependant, comme $\mathrm {Y} ^{(0)}$ est constant, on peut le supposer compris dans la valeur de $a,$ que nous avons prise pour l’unité, et il est toujours possible, en plaçant convenablement l’origine des rayons, de faire disparaître $\mathrm {Y} ^{(1)},$ et de réduire ainsi l’expression du rayon du sphéroïde à cette forme

$1+\alpha \left(\mathrm {Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}} +\ldots \right).$

Cette correspondance entre la variation de la pesanteur et celle des rayons n’étant assujettie à aucune hypothèse sur la figure et sur la densité des couches du sphéroïde, elle offre un moyen très simple de vérifier si la loi de la gravitation universelle, qui s’accorde si bien avec les mouvements des corps célestes, s’accorde pareillement avec leurs figures.

XXIII.

Le rayon osculateur du méridien d’un sphéroïde qui a pour rayon $1+\alpha y$ est

$1+\alpha {\frac {\partial \mu y}{\partial \mu }}+\alpha {\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial y}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}\,;$

en désignant donc par $c$ la grandeur du degré d’un cercle dont le rayon est ce que nous avons pris pour l’unité, l’expression du degré du méridien du sphéroïde sera

$c\left\{1+\alpha {\frac {\partial \mu y}{\partial \mu }}+\alpha {\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial y}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}\right\}.$

Si l’on substitue, au lieu du rayon $1+\alpha y,$ sa valeur

$1+\alpha \left(\mathrm {Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}} +\ldots +\mathrm {Y} ^{(i)}+\ldots \right)$

et, au lieu de ${\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }},$ sa valeur

$-i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}-{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}},$