Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/434

les incréments de vitesse

$-{\frac {d^{2}x'}{dt}},\quad -{\frac {d^{2}y'}{dt}},\quad -{\frac {d^{2}z'}{dt}},$

forces que l’on obtient, comme l’on sait, en divisant ces incréments de vitesse par l’élément du temps.

Il résulte de l’article XVII que l’intégrale $\int \left(\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\ldots \right),$ relative aux forces dont une molécule fluide est sollicitée à la surface, est égale à

$\mathrm {V=\alpha \left(Z^{(0)}+Z^{(2)}+Z^{(3)}+\ldots \right)} ,$

$\mathrm {V}$ étant la somme de toutes les parties du sphéroïde divisées par leurs distances à la molécule fluide ; ainsi, pour avoir la valeur entière de l’intégrale $\int \left(\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\ldots \right),$ il faut ajouter à la quantité précédente l’intégrale du produit des forces $-{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}},\ -{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}},\ -{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}$ par les éléments de leurs directions, c’est-à-dire l’intégrale

$-\int \left(dx'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+dy'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+dz'{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\right),$

les différentielles $dx',dy',dz'$ étant relatives aux variables $\theta$ et $\varpi .$ On aura donc, pour l’équation générale du mouvement du fluide

${\begin{aligned}\mathrm {const} .=&\mathrm {V+\alpha \left(Z^{(0)}+Z^{(2)}+Z^{(3)}+Z^{(4)}+\ldots \right)} \\&-\int \left(dx'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+dy'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+dz'{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\right),\end{aligned}}$

équation dans laquelle on doit observer que, le sphéroïde étant supposé sans mouvement de rotation, il faut faire $g=0$ dans les valeurs de $Z^{(0)}$ et de $Z^{(2)}.$

Maintenant on a

${\begin{aligned}x'=&(1+\alpha y)\cos(\theta +\alpha u),\\y'=&(1+\alpha y)\sin(\theta +\alpha u)\cos(\varpi +\alpha v)\\z'=&(1+\alpha y)\sin(\theta +\alpha u)\sin(\varpi +\alpha v),\end{aligned}}$