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en développant le second membre de cette équation par rapport aux puissances de $z,$ on aura

$u\left[b+c+e+\ldots +{\frac {1}{t}}(c+e+\ldots )+{\frac {1}{t^{2}}}(e+\ldots )+\ldots \right]$

$\times \left({\frac {1}{\mathrm {K} }}+{\frac {z}{\mathrm {K} ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mathrm {K} ^{3}}}+{\frac {z^{3}}{\mathrm {K} ^{4}}}+\ldots \right).$

Maintenant, le coefficient de $t^{x},$ dans un terme quelconque tel que ${\frac {uz^{s}}{t^{r}}},$ est, par l’article II, égal à $\nabla ^{s}y_{x+r}\,;$ ce coefficient sera donc, dans la quantité précédente, égal à

${\begin{aligned}(b&+\ c\,+e+\ldots )\left({\frac {y_{x}}{\mathrm {K} }}\ \ \ +{\frac {\nabla y_{x}}{\mathrm {K} ^{2}}}\quad +{\frac {\nabla ^{2}y_{x}}{\mathrm {K} ^{3}}}\quad +{\frac {\nabla ^{3}y_{x}}{\mathrm {K} ^{4}}}\quad +\ldots \right)\\&+(c+e+\ldots )\left({\frac {y_{x+1}}{\mathrm {K} }}+{\frac {\nabla y_{x+1}}{\mathrm {K} ^{2}}}+{\frac {\nabla ^{2}y_{x+1}}{\mathrm {K} ^{3}}}+{\frac {\nabla ^{3}y_{x+1}}{\mathrm {K} ^{4}}}+\ldots \right)\\&+\ \ \ \quad (e+\ldots )\left({\frac {y_{x+2}}{\mathrm {K} }}+{\frac {\nabla y_{x+2}}{\mathrm {K} ^{2}}}+{\frac {\nabla ^{2}y_{x+2}}{\mathrm {K} ^{3}}}+{\frac {\nabla ^{3}y_{x+2}}{\mathrm {K} ^{4}}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,:\end{aligned}}$

ce sera la valeur de la suite proposée $(\gamma )$ depuis le terme $y_{x}$ jusqu’à l’infini.

Si l’on fait $x=0,$ on aura une nouvelle suite égale à la proposée, mais dont les termes suivront une autre loi ; et, si les quantités $\nabla y_{x},\nabla ^{2}y_{x},\ldots$ vont en décroissant, cette nouvelle suite sera convergente ; elle se terminera toutes les fois que l’on aura $\nabla ^{s}y_{x}=0,$ ce qui aura lieu lorsque la suite proposée sera récurrente ; on aura donc de cette manière la somme des séries récurrentes.

La transformation des suites se réduit à déterminer l’intégrale $\sum y_{x},$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et toutes les manières d’exprimer cette intégrale donneront autant de transformées différentes ; ce qui consiste, par ce qui précède, à déterminer le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de ${\frac {u}{1-{\cfrac {1}{t}}}}.$ Pour cela, soit généralement $z$ une fonction quelconque de ${\frac {1}{t}},$ et nommons $\nabla y_{x}$ le coefficient de $t^{x}$ dans $uz\,;$ les coefficients de $t^{x}$ dans $uz^{2},uz^{3},$$uz^{4},\ldots$ seront $\nabla ^{2}y_{x},\nabla ^{3}y_{x},\nabla ^{4}y_{x},\ldots .$ Cela posé, on multipliera le numérateur et le dénominateur de la frac-