Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/50

tion ${\frac {u}{1-{\cfrac {1}{t}}}}$ par $\mathrm {K} -z,$ et l’on prendra $\mathrm {K}$ de manière qu’il soit égal à $z,$ lorsqu’on fait $t$ égal à $1$ dans cette dernière quantité ; $\mathrm {K} -z$ sera ainsi divisible par $1-{\frac {1}{t}}.$ Soit $q+{\frac {q^{(1)}}{t}}+{\frac {q^{(2)}}{t^{2}}}+{\frac {q^{(3)}}{t^{3}}}+\ldots$ le quotient de la division ; on aura

${\begin{aligned}{\frac {u}{1-{\cfrac {1}{t}}}}=&\quad \ {\frac {uq}{\mathrm {K} }}\ \ \ \left(1+{\frac {z}{\mathrm {\mathrm {K} } }}+{\frac {z^{2}}{\mathrm {\mathrm {K} } ^{2}}}+{\frac {z^{3}}{\mathrm {\mathrm {K} } ^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {uq^{(1)}}{\mathrm {K} t}}\left(1+{\frac {z}{\mathrm {\mathrm {K} } }}+{\frac {z^{2}}{\mathrm {\mathrm {K} } ^{2}}}+{\frac {z^{3}}{\mathrm {\mathrm {K} } ^{3}}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices à leurs variables correspondantes.

${\begin{aligned}\sum y_{x}=&\ \qquad {\frac {qy_{x}}{\mathrm {K} }}\quad \ \ +\quad {\frac {q\nabla y_{x}}{\mathrm {K} ^{2}}}\qquad +\quad {\frac {q\nabla ^{2}y_{x}}{\mathrm {K} ^{3}}}\ \ \ +\ldots \\&+{\frac {q^{(1)}y_{x+1}}{\mathrm {K} }}\ \ \ +{\frac {q^{(1)}\nabla y_{x+1}}{\mathrm {K} ^{2}}}\quad +{\frac {q^{(1)}\nabla ^{2}y_{x+1}}{\mathrm {K} ^{3}}}+\ldots \\&+{\frac {q^{(2)}y_{x+2}}{\mathrm {K} }}\ \ \ +{\frac {q^{(2)}\nabla y_{x+2}}{\mathrm {K} ^{2}}}\quad +{\frac {q^{(2)}\nabla ^{2}y_{x+2}}{\mathrm {K} ^{3}}}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

l’intégrale $\sum y_{x}$ étant prise depuis $y_{x}$ jusqu’à $y_{\infty }\,;$ et, si l’on fait dans l’équation précédente $x=0,$ on aura une nouvelle suite égale à la proposée et qui sera, par conséquent, sa transformée.

X.

Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences en séries.

En appliquant à des cas particuliers les résultats que nous avons donnés dans l’article II, on aura une infinité de théorèmes sur le développement de fonctions en suites ; nous allons présenter ici les plus remarquables.