étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; donc
| (3)
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| (4)
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en ayant soin d’appliquer à la caractéristique 
les exposants des puissances de 
et de changer les différences négatives en intégrales.
Si, dans les équations (1) et (2), on suppose encore 
infiniment petit et égal à 
on aura
On a d’ailleurs
ces équations deviendront ainsi
| (5)
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![{\displaystyle {\frac {d^{n}y_{x}}{dx^{n}}}=\left[\log(1+\Delta y_{x})\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b3ccd2ed1519fff00c4f2181306cfd5ab731f3)
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| (6)
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![{\displaystyle \int ^{n}y_{x}dx^{n}={\frac {1}{\left[\log(1+\Delta y_{x})\right]^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31184d6afdb57a6ea6f5abed3393f1dd6275a801)
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On peut remarquer ici une analogie singulière entre les puissances positives et les différences ; l’équation
a encore lieu en élevant ses deux membres à la puissance 
pourvu que l’on applique aux caractéristiques 
et 
les puissances de 
et de 
car il est clair que dans ce cas on aura l’équation (1).
La même analogie subsiste entre les puissances négatives et les intégrales, et l’équation précédente a lieu encore en élevant ses deux membres à la puissance 
pourvu que l’on change en intégrales du même ordre les puissances négatives de et de 
on formera ainsi l’équation (2).
