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On trouvera pareillement que, si la valeur de $y_{1,x_{1}}$ est exprimée par $\mathrm {B} q^{x_{1}}+\mathrm {B} _{1}q_{1}^{x_{1}}+\mathrm {B} _{2}q_{2}^{x_{1}}+\ldots ,$ et que l’on nomme $\mathrm {Q,Q_{1},Q_{2}} ,\ldots$ ce que devient la quantité $c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+\ldots$ lorsqu’on y change successivement ${\frac {1}{t_{1}}}$ en $q,q_{1},q_{2},\ldots$ on aura

$\sum \mathrm {M} _{1}^{(r-1)}y_{1,x_{1}+r-1}=\mathrm {BQ} q^{x_{1}}+\mathrm {B_{1}Q_{1}} q_{1}^{x_{1}}+\mathrm {B_{2}Q_{2}} q_{2}^{x_{1}}+\ldots .$

et ainsi de suite ; on aura ainsi l’expression de $y_{i,x_{1}}$ la plus simple à laquelle on puisse parvenir.

Si l’on a $\Delta ^{2}y_{x,x_{1}}=0,$ on aura, en faisant $x=0$ dans l’expression générale de $y_{x+i,x_{1}}$ de l’article précédent,

${\begin{aligned}y_{i,x_{1}}=&\quad \ \mathrm {M} y_{0,x_{1}}\quad +\mathrm {M} ^{(1)}y_{0,x_{1}+1}\ \ \,+\ldots +\mathrm {M} ^{(i)}y_{0,x_{1}+i}\\&+\mathrm {N} \nabla y_{0,x_{1}}\ \,+\mathrm {N} ^{(1)}\nabla y_{0,x_{1}+1}+\ldots \\&+\mathrm {M} _{1}y_{1,x_{1}}\ \ \,+\mathrm {M} _{1}^{(1)}y_{1,x_{1}+1}\ \ \,+\ldots +\mathrm {M} _{1}^{(i-1)}y_{1,x_{1}+i-1}\\&+\mathrm {N} _{1}\nabla y_{1,x_{1}}+\mathrm {N} _{1}^{(1)}\nabla y_{1,x_{1}+1}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {M} _{n-1}y_{n-1,x_{1}}\ \ \,+\mathrm {M} _{n-1}^{(1)}y_{n-1,x_{1}+1}+\ldots +\mathrm {M} _{n-1}^{(i-n+1)}y_{n-1,x_{1}+i-n+1}\\&+\mathrm {N} _{n-1}\nabla y_{n-1,x_{1}}+\ldots ,\end{aligned}}$

$y_{0,x_{1}},y_{1,x_{1}},\ldots ,y_{n-1,x_{1}},\nabla y_{0,x_{1}},\nabla y_{1,x_{1}},\ldots ,\nabla y_{n-1,x_{1}},$ étant les $2n$ fonctions arbitraires de l’intégrale de l’équation $\nabla ^{2}y_{i,x_{1}}=0\,;$ on aura, de la même manière, les intégrales des équations $\nabla ^{3}y_{i,x_{1}}=0,\ \nabla ^{4}y_{i,x_{1}}=0,\ldots .$

J’ai nommé ailleurs (voir les Tomes VI et VII des Mémoires des Savants étrangers)^[1] les séries formées d’après l’équation $\nabla ^{r}y_{i,x}=0$ suites récurrorécurrentes ; elles différent des suites récurrentes, en ce que dans celles-ci les termes ne sont fonctions que d’une seule variable : ainsi, tous leurs termes dans la Table (Q) sont ou dans un même rang vertical, ou dans un même rang horizontal, ou sur une même droite inclinée à l’horizon d’une manière quelconque, au lieu que les termes d’une suite récurrorécurrente, étant fonctions de deux variables, remplissent toute l’étendue de la Table (Q) et forment une surface, de sorte que les quantités arbitraires, qui, dans le cas des suites récur-

1. Œuvres de Laplace, t. VIII, p. 5 et p. 69.