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on aura une équation linéaire entre $\mathrm {Z} _{i}^{(0)}$ et ses différentielles, dont les coefficients seront des fonctions rationnelles et entières de $s,$ ou, ce qui revient au même, de ${\frac {1}{t_{1}}}.$ Cela posé, considérons un terme quelconque de cette équation, tel que ${\frac {\mathrm {K} }{t_{1}^{m}}}{\frac {d^{\mu }\mathrm {Z} _{i}^{(0)}}{ds^{\mu }}},$ et nommons $\lambda _{r}$ le coefficient de ${\frac {1}{t_{1}^{r}}}$ dans le développement de $\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\,;$ ce coefficient dans le développement de ${\frac {\mathrm {K} }{t_{1}^{m}}}{\frac {d^{\mu }\mathrm {Z} _{i}^{(0)}}{ds^{\mu }}}$ sera

$\mathrm {K} (r-m+\mu )(r-m+\mu -1)(r-m+\mu -2)\ldots (r-m)\lambda _{r-m+\mu }.$

En repassant ainsi des fonctions génératrices à leurs variables correspondantes, l’équation précédente entre $\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}$ et ses différences donnera une équation entre $\lambda _{r},\lambda _{r+1},\ldots$ dont les coefficients sont variables, et, en l’intégrant, on aura la valeur de $\lambda _{r}.$

Il suit de là que l’intégration de toute équation linéaire aux diffèrences finies partielles, dont les coefficients sont constants, dépend : 1^o de l’intégration d’une équation linéaire aux différences finies dont les coefficients sont variables ; 2^o d’une intégrale définie ; je nomme ainsi toute intégrale prise depuis une valeur déterminée de la variable jusqu’à une autre valeur déterminée. L’intégrale définie dont dépend la valeur de $y_{i,x_{1}}$ dans la formule $(\lambda )$ est relative à $r$ et doit s’étendre depuis $r=0$ jusqu’à $r=i.$ Relativement aux équations différentielles du premier ordre, on a

$\mathrm {Z} _{i}^{(0)}=-{\frac {1}{a\alpha ^{i+1}}}\,;$

on a, de plus.

${\begin{aligned}a=&\mathrm {A+B} _{1}s\\\alpha =&-{\frac {\mathrm {B} }{a}},\end{aligned}}$

ce qui donne

$\mathrm {Z} _{i}^{(0)}=-{\frac {\left(\mathrm {A+B} _{1}s\right)^{i}}{(-\mathrm {B} )^{i+1}}},$

d’où l’on tire cette équation différentielle

$0={\frac {d\mathrm {Z} _{i}^{(0)}}{ds}}\left(\mathrm {A+B} _{1}s\right)-i\mathrm {B_{1}Z} _{i}^{(0)},$