Toutes les équations linéaires aux différences infiniment petites partielles du second ordre peuvent être mises sous cette forme
(S)
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et
étant des fonctions quelconques données de
et de
et, si l’on nomme
l’intégrale
l’intégrale
l’intégrale
et ainsi de suite ; si l’on nomme pareillement
l’intégrale
l’intégrale
l’intégrale
et ainsi de suite, la valeur de
peut être exprimée par une suite de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=&\quad \ \mathrm {A} \varphi _{1}(s)\ \,+\mathrm {A} ^{(1)}\varphi _{2}(s)\ \,+\mathrm {A} ^{(2)}\varphi _{3}(s)\ \,+\mathrm {A} ^{(3)}\varphi _{4}(s)\ \,+\ldots \\&+\mathrm {B} \psi _{1}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(1)}\psi _{2}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(2)}\psi _{3}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(3)}\psi _{4}(s_{1})+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c79e703fb48f2bec164a9365be27aa7299e3ea)
et
étant deux fonctions arbitraires, l’une de
et l’autre de
(voir sur cela les Mémoires de l’Académie pour l’année 1773, p. 355 et suiv.)[1]. Cela posé, si l’on substitue cette valeur de
dans l’équation (S) et que l’on compare séparément les termes multipliés par ![{\displaystyle \varphi (s),\varphi _{1}(s),\varphi _{2}(s),\ldots ,\psi (s_{1}),\psi _{1}(s_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80802566395a00648022d78273f56140fcb8779a)
on aura, pour déterminer
les équations suivantes :
![{\displaystyle (\gamma )\ \quad \left\{{\begin{aligned}0=&\ {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial s_{1}}}\ \ +m\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial s_{1}}}+m\mathrm {A} ^{(1)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial s\partial s_{1}}}\ +m\ {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial s}}\ \ \,+n\ {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial s_{1}}}\ \ +l\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(2)}}{\partial s_{1}}}+m\mathrm {A} ^{(2)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(1)}}{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial s}}+n{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial s_{1}}}+l\mathrm {A} ^{(1)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c61b360369c339af971920ff6342864e8287e1)
![{\displaystyle (\gamma ')\quad \left\{{\begin{aligned}0=&\ {\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial s}}\ \ +n\mathrm {B} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial s}}+n\mathrm {B} ^{(1)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} }{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial s}}\quad +n{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial s_{1}}}\quad +l\mathrm {B} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial s}}+n\mathrm {B} ^{(2)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(1)}}{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial s}}+n{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial s_{1}}}+l\mathrm {B} ^{(1)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef41a0dc0353b2a2366b391e9bb8cfb04e15461)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IX, p. 21 et suiv.