Lorsque, en satisfaisant à ces équations, on parvient à trouver 
ou 
étant un nombre entier positif, alors 
peut toujours s’exprimer en termes finis, en n’ayant égard qu’aux seules variables 
et 
de l’équation. J’ai donné dans les Mémoires cités une méthode générale et fort simple pour avoir dans ce cas l’intégrale complète de cette équation ; mais, si l’une ou l’autre des deux équations et 
ne peut avoir lieu, il faut nécessairement, pour avoir l’expression de en termes finis, y introduire une nouvelle variable de la manière suivante.
Pour cela, nous observerons que, si l’on fait commencer l’intégrale 
lorsque 
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int ds\varphi (s)=ds&\left\{\varphi (0)+\varphi (ds)+\varphi (2ds)+\varphi (3ds)+\ldots \right.\\&\ \ \qquad \left.+\varphi (rds)+\varphi \left[(r+1)ds\right]+\ldots +\varphi (s)\right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aebdb93aa3e6551e670e9291a10c6938d7b54a5)
donc, si l’on nomme 
la suite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (0)&+t\varphi (ds)+t^{2}\varphi (2ds)+t^{3}\varphi (3ds)+\ldots \\&+t^{r}\varphi (rds)+t^{r+1}\varphi \left[(r+1)ds\right]+\ldots +t^{\frac {s}{ds}}\varphi (s),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c19c0fe591ad1fc64abb76a7cc873b1b71e935d)
ou 
sera égal au coefficient de 
dans le développement de la fonction 
Il est aisé d’en conclure que 
sera égal au coefficient de dans le développement de 
généralement, que 
sera égal au coefficient de dans le développement de 
d’ailleurs, il est visible que le coefficient de 
dans est égal au coefficient de 
dans le développement de 
et par conséquent égal à
Supposons 
infini et égal à 
nous aurons 
pour ce
