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nomme $r$ ce que devient $p$ par ce changement, on aura

$\int pdz\varphi (z)=\mathrm {K} -\int rdz_{1}\varphi (s+z_{1}),$

l’intégrale relative à $z$ étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s,$ et l’intégrale relative à $z_{1}$ étant prise depuis $z_{1}=0$ jusqu’à $z_{1}=\infty .$ Si l’on nomme pareillement $\mathrm {K} _{1}$ l’intégrale $\int p_{1}dz\varphi (z)$ prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=\infty ,$ que l’on fasse $z=s_{1}+z_{1},$ et que l’on nomme $r_{1}$ ce que devient $p_{1}$ par ce changement, on aura

$\int p_{1}dz\psi (z)=\mathrm {K} _{1}-\int r_{1}dz_{1}\psi (s_{1}+z_{1}),$

l’intégrale relative à $z$ étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s_{1},$ et l’intégrale relative à $z_{1}$ étant prise depuis $z_{1}=0$ jusqu’à $z_{1}=infty\,;$ on aura donc

$u=\mathrm {K+K_{1}} -\int dz_{1}\left[r\varphi (s+z_{1})+r_{1}\psi (s_{1}+z_{1})\right].$

Les fonctions $\varphi (s+z_{1})$ et $\psi (s_{1}+z_{1})$ étant arbitraires et pouvant même être supposées discontinues, on peut, sans nuire à la généralité de cette valeur de $u,$ les supposer telles que l’on ait $\mathrm {K+K_{1}} =0\,;$ on aura donc, en changeant le signe de ces fonctions,

$u=\int dz_{1}\left[r\varphi (s+z_{1})+r_{1}\psi (s_{1}+z_{1})\right],$

l’intégrale étant prise depuis $z_{1}=0$ jusqu’à $z_{1}=\infty .$

Ces différentes formes que l’on peut donner à $u$ ont chacune des avantages particuliers, suivant les différents problèmes que l’on se propose de résoudre. On verra ci-après (art. XX) un usage de la dernière dans la théorie du son ; mais on doit observer qu’elles sont toutes dépendantes d’intégrales définies et qu’elles ne peuvent être ramenées à des intégrales indéfinies que dans le cas où l’une ou l’autre des quantités $p$ et $p_{1}$ est une fonction rationnelle et entière de $z.$

Toute la difficulté de l’intégration des équations linéaires aux différences partielles du second ordre se réduit ainsi à déterminer ces quantités ; c’est ce qui parait très difficile en général : nous nous