Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/76

bornerons conséquemment à considérer quelques cas particuliers qui sont relatifs à plusieurs problèmes intéressants que l’on n’a pu résoudre encore que d’une manière particulière.

XIX.

Supposons d’abord $m,n$ et $l$ constants dans équation (S) ; on satisfera aux équations $(\gamma )$ et $(\gamma ')$ de l’article précédent en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {A} \quad =&e^{-ms_{1}-ns},\\\mathrm {A} ^{(1)}=&e^{-ms_{1}-ns}(mn-l)s_{1},\\\mathrm {A} ^{(2)}=&e^{-ms_{1}-ns}{\frac {(mn-l)^{2}}{1.2}}s_{1}^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {A} ^{(\mu )}=&e^{-ms_{1}-ns}{\frac {(mn-l)^{\mu }}{1.2.3\ldots \mu }}s_{1}^{\mu },\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {B} \quad =&e^{-ms_{1}-ns},\\\mathrm {B} ^{(1)}=&e^{-ms_{1}-ns}(mn-l)s,\\\mathrm {B} ^{(2)}=&e^{-ms_{1}-ns}{\frac {(mn-l)^{2}}{1.2}}s^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {B} ^{(\mu )}=&e^{-ms_{1}-ns}{\frac {(mn-l)^{\mu }}{1.2.3\ldots \mu }}s^{\mu },\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; on aura ainsi

$\Gamma (s-z)=e^{-ms_{1}-ns}\left[1+(mn-l)s_{1}(s-z)+{\frac {(mn-l)^{2}}{1.2}}s_{1}^{2}(s-z)^{2}\right.$

$\left.+{\frac {(mn-l)^{2}}{1.2.3}}s_{1}^{2}(s-z)^{2}+\ldots \right],$

en sorte que $\Gamma (s-z)$ est égal à une fonction de $s_{1}(s-z)$ multipliée par $e^{-ms_{1}-ns}.$ Soit $y$ cette fonction et nommons $\theta$ la quantité $s_{1}(s-z)\,;\ e^{-ms_{1}-ns}$ y sera, par ce qui précède, une intégrale particulière de l’équation proposée aux différences partielles. On la substituera donc pour $u$