On aura ainsi
![{\displaystyle \Gamma (s-z)=(s+s_{1})^{-f}\left\{{\begin{aligned}&\quad 1+\left[f(1-g)+h\right]{\frac {s-z}{s+s_{1}}}\\+&\left[(f+1)(2-g)+h\right]\left({\frac {s-z}{s+s_{1}}}\right)^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e986bb385a1e3f29600b9362e376970c26b39b)
donc, si l’on fait
sera égal à une fonction de
multipliée par
Nommons
cette fonction, en sorte que
![{\displaystyle \Gamma (s-z)=(s+s_{1})^{-f}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69d1b240103a6cc976ffe9784a7668bd9fc6da0)
sera une valeur particulière de
et l’on aura dans ce cas
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}=-f(s+s_{1})^{-f-1}y+(s+s_{1})^{-f}{\frac {dy}{d\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7790520fe72cf0a96153e26f35076332eb9560e)
or on a
![{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial s}}={\frac {1}{s+s_{1}}}-{\frac {s-z}{(s+s_{1})^{2}}}={\frac {1}{s+s_{1}}}(1-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c5498ad3a82e80dc0dd7b046f3b31a0b023c40)
partant
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}=(s+s_{1})^{-f-1}\left[{\frac {dy}{d\theta }}(1-\theta )-fy\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b356d75814ccfb0e9c68e77ee414d26f842747a0)
on trouvera pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}=&-(s+s_{1})^{-f-1}\left(fy+\theta {\frac {dy}{d\theta }}\right),\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}=&(s+s_{1})^{-f-2}\\&\qquad \times \left[f(f+1)y+{\frac {dy}{d\theta }}(2f\theta +2\theta -f-1)-\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a3bfb6e1e24612608ec50c8023715dcb6a1579)
En substituant ces valeurs dans l’équation proposée aux différences partielles, on aura l’équation suivante aux différences ordinaires
![{\displaystyle (a_{1})\quad 0=\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\left[\theta (g-f-2)+1\right]{\frac {dy}{d\theta }}+(fg-f-h)y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa95ecc9ae0f4e193f44e2bd490984a66e50717c)
il faudra déterminer les deux constantes arbitraires de son intégrale, de manière que l’on ait
et
lorsque
en nommant donc
ce que devient alors
on aura
![{\displaystyle \Gamma (s-z)={\frac {{\text{⅃}}\left({\cfrac {s-z}{s+s_{1}}}\right)}{(s+s_{1})^{f}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4633ef28b691174b0cd107dc98ca8bd7451fc0fa)